Modélisation quadratique en Première sans spécialité maths

Qu’est-ce qu’un modèle quadratique ?

Un modèle quadratique utilise une fonction polynôme de degré 2 pour représenter une grandeur qui ne varie pas de façon linéaire. Sa courbe représentative est une parabole.

Contrairement à une fonction affine, dont le taux de variation reste constant, une fonction du second degré peut d’abord croître puis décroître, ou l’inverse. Elle permet donc de modéliser simplement une situation possédant un maximum ou un minimum : trajectoire parabolique, forme d’une arche, chiffre d’affaires selon un prix, ou évolution approximative d’une population sur un intervalle limité.

Le programme de 2026 introduit explicitement ce type de modèle en Première générale pour les élèves qui ne suivent pas la spécialité mathématiques.

Ce qu’il faut savoir lire sur une parabole

Pour une fonction de la forme

$$f(x)=ax^2+bx+c,$$

le programme demande de savoir déterminer ou exploiter plusieurs caractéristiques de sa courbe : son allure, son axe de symétrie, les coordonnées de son sommet et son tableau de variation.

Le sommet correspond au point où la fonction atteint son minimum si la parabole est tournée vers le haut, ou son maximum si elle est tournée vers le bas.

Il n’est pas nécessaire de mémoriser une formule générale du sommet. Le programme indique qu’aucune formule n’est attendue : on peut par exemple exploiter une symétrie ou résoudre une équation adaptée au problème.

Les formes algébriques effectivement travaillées

Le programme demande d’associer une parabole à des expressions simples comme

$$x\mapsto ax^2,\qquad x\mapsto ax^2+c$$

ou à une forme factorisée

$$x\mapsto a(x-x_1)(x-x_2).$$

La forme factorisée permet notamment de lire les racines $x_1$ et $x_2$ et d’étudier le signe de la fonction.

Cette approche met l’accent sur le choix d’une écriture adaptée au problème. Une même fonction peut être plus facile à interpréter graphiquement, à étudier par ses racines ou à utiliser dans un modèle selon la forme sous laquelle elle est donnée.

Le discriminant n’est pas au programme

C’est une limite importante à connaître. Le texte officiel précise que le calcul des racines à l’aide du discriminant ne figure pas au programme de cet enseignement.

Cela ne signifie pas que les racines disparaissent : elles sont étudiées lorsque le polynôme est donné sous une forme qui permet de les identifier, notamment la forme factorisée.

Il serait donc contre-productif de transformer ce chapitre en apprentissage anticipé de toutes les techniques de la spécialité mathématiques. L’objectif est de comprendre et d’utiliser un modèle du second degré avec les outils effectivement prévus.

Comment reconnaître qu’un modèle quadratique est pertinent ?

Un modèle quadratique peut être pertinent lorsqu’une grandeur présente une courbure et un extremum que ne peut pas décrire correctement une droite. Le contexte compte : une parabole peut bien représenter un phénomène sur un certain intervalle sans être un modèle valable pour toutes les valeurs possibles de $x$.

Pour résoudre un problème, il faut donc distinguer trois étapes : identifier le comportement à modéliser, exploiter les propriétés de la fonction choisie, puis interpréter le résultat dans le contexte initial.

Cette dernière étape est essentielle. Trouver le sommet d’une parabole n’a d’intérêt que si l’on sait expliquer ce qu’il représente dans la situation étudiée : hauteur maximale, coût minimal, chiffre d’affaires maximal, ou autre grandeur selon le problème.