Programme de mathématiques en B/L1 (hypokhâgne)

Un nouveau programme à partir de 2026

La première année de la prépa B/L, souvent appelée hypokhâgne B/L, change de programme de mathématiques à la rentrée 2026. L’arrêté du 9 mars 2026 remplace le texte précédent : sa partie de première année s’applique immédiatement en 2026-2027, tandis que la nouvelle partie de deuxième année ne s’appliquera qu’à partir de la rentrée 2027.

Le préambule officiel explicite plusieurs évolutions. L’algèbre linéaire est précisée pour mieux distinguer les applications linéaires des matrices qui les représentent. En analyse, les relations de négligeabilité et d’équivalence sont introduites et utilisées pour les séries et, plus tard, les intégrales impropres. La convergence absolue entre également dans le programme. À l’inverse, la régression linéaire et le coefficient de corrélation disparaissent du nouveau texte.

Suites, séries et comparaisons asymptotiques

La première année développe les limites de suites, les suites monotones, les suites adjacentes et plusieurs familles classiques de suites. Les récurrences linéaires d’ordre 2 peuvent être étudiées, sans installer une théorie générale des suites définies par récurrence.

Une nouveauté structurante est la présence explicite des relations de négligeabilité et d’équivalence. Les étudiants doivent savoir manipuler les notations de type « petit o » et équivalent, comparer les croissances usuelles et utiliser ces outils pour étudier des séries.

Le chapitre sur les séries ne se limite plus aux termes positifs : convergence et divergence sont définies pour des séries réelles, les séries positives sont comparées aux séries de Riemann, puis la convergence absolue est introduite. Le fait qu’une série absolument convergente converge est admis. Le critère de d’Alembert et la série exponentielle font partie du programme.

Algèbre linéaire : matrices, espaces vectoriels et changements de base

Le programme commence par le calcul matriciel et les systèmes linéaires : opérations sur les matrices, transposition, trace, matrices inversibles et pivot de Gauss. Le déterminant n’est traité qu’en dimension 2. La méthode de Gauss doit être pratiquée sur des exemples simples, sans théorie générale supplémentaire.

Les espaces vectoriels sont ensuite étudiés en dimension finie : sous-espaces, applications linéaires, noyau, image, familles libres et génératrices, bases, dimension, théorème de la base incomplète et théorème du rang. Le lien entre une application linéaire et sa matrice dans des bases données est explicite.

Les changements de base sont au programme, avec matrices de passage et formule de changement de bases. Pour un endomorphisme, deux matrices représentant le même endomorphisme dans deux bases sont semblables. Le rang d’une matrice est relié au rang de ses colonnes puis de ses lignes.

Analyse d’une variable et intégration

L’étude des fonctions d’une variable réelle porte sur limites, continuité, dérivabilité et variations. Les comparaisons asymptotiques sont aussi formulées pour les fonctions. Les théorèmes usuels de continuité sur un segment, le théorème des valeurs intermédiaires, Rolle, l’égalité et l’inégalité des accroissements finis sont au programme.

Un développement limité d’ordre 1 apparaît avec la dérivation. Les dérivées d’ordre supérieur et les classes de régularité sont introduites comme vocabulaire, mais aucun résultat général n’est exigible à ce stade : la formule de Leibniz est explicitement hors programme.

L’intégrale d’une fonction continue sur un segment est reliée aux sommes de Riemann. Positivité, linéarité, relation de Chasles, théorème fondamental de l’intégration, intégration par parties et changements de variable sont étudiés. Il n’est toutefois pas attendu de savoir inventer un changement de variable sophistiqué ; seuls les cas simples doivent pouvoir être choisis spontanément.

Probabilités discrètes

Les probabilités occupent une place importante dès la première année. Le programme traite les événements, les probabilités conditionnelles, les formules des probabilités composées et totales et la formule de Bayes, puis les variables aléatoires discrètes à valeurs finies ou dénombrables.

Espérance et variance sont étudiées avec les précautions de convergence nécessaires. Pour des variables finies, la covariance apparaît et l’inégalité de Cauchy-Schwarz peut être mise en relation avec l’algèbre. L’indépendance de plusieurs variables, le lemme des coalitions et les sommes de variables indépendantes sont utilisés.

Les lois de Bernoulli, binomiale, géométrique et de Poisson sont au programme. Le passage d’une loi binomiale vers une loi de Poisson lorsque les événements deviennent rares est étudié point par point ; le texte précise qu’il ne s’agit pas d’introduire une théorie générale de la convergence en loi.

Quelques frontières utiles du programme

Les nombres complexes ne sont pas étudiés pour eux-mêmes : ils servent principalement d’outil pour les formules trigonométriques et la résolution des équations du second degré à coefficients réels. La construction de ℝ et celle de ℂ sont hors programme. La théorie générale des déterminants n’est pas introduite en première année, le déterminant restant limité aux matrices 2 × 2.

De même, la théorie générale des suites extraites n’est pas demandée, la formule de Leibniz pour les dérivées successives est hors programme et les difficultés théoriques liées aux familles sommables en probabilités ne sont pas exigibles. Ces limites sont utiles pour calibrer exercices et devoirs : la difficulté doit venir du raisonnement avec les outils prescrits, non d’une théorie extérieure.

Et pour la deuxième année ?

La cohorte qui entre en B/L1 en 2026 poursuivra en 2027-2028 avec la partie de deuxième année du nouvel arrêté de 2026. En revanche, les étudiants déjà en B/L2 pendant l’année 2026-2027 terminent encore leur cursus sous le programme antérieur. La page B/L2 distingue précisément ces deux régimes afin d’éviter de mélanger des connaissances exigibles pour des cohortes différentes.