Programme de mathématiques en B/L2 (khâgne)

Une année de transition réglementaire

Pour un étudiant en B/L2 pendant l’année 2026-2027, le programme à utiliser n’est pas encore la deuxième année du nouvel arrêté de 2026. L’arrêté du 9 mars 2026 prévoit explicitement une entrée en vigueur décalée : nouveau programme en première année dès la rentrée 2026, mais seulement à la rentrée 2027 pour la deuxième année.

La cohorte de khâgne 2026-2027 termine donc sa préparation avec le programme publié en 2017. Cette distinction est importante pour les exercices, les devoirs et la préparation aux concours : mélanger les deux éditions conduirait à exiger trop tôt des notions qui appartiennent au futur programme.

Algèbre et géométrie : réduction et produit scalaire

Le programme actuellement applicable commence par les sommes de sous-espaces, les sommes directes et les supplémentaires. Projections et symétries sont étudiées à partir de ces décompositions.

La réduction porte sur les valeurs propres, les vecteurs propres et la diagonalisation. Des vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes forment une famille libre et une matrice de taille n possédant n valeurs propres distinctes est diagonalisable. En revanche, la diagonalisation pratique est limitée aux matrices 2 × 2 : le programme n’installe pas une technique générale de réduction en dimension quelconque.

Le produit scalaire est étudié dans ℝⁿ avec la norme associée, l’orthogonalité, les familles orthogonales et orthonormées, l’inégalité de Cauchy-Schwarz, l’orthogonal d’un sous-espace et la projection orthogonale. Le texte précise qu’il ne s’agit pas de développer une théorie générale des espaces euclidiens abstraits.

Étude locale, intégrales généralisées et fonctions de deux variables

En analyse d’une variable, la deuxième année ajoute les fonctions polynomiales, les développements limités et les intégrales généralisées. Les développements limités servent à l’étude locale et au calcul de limites ; le programme reste volontairement modéré sur la technicité des ordres élevés.

Les fonctions de deux variables réelles constituent un autre bloc important. Le formalisme reste léger : exemples, dérivées partielles, fonctions quadratiques et étude des points critiques. Le programme 2017 comporte aussi un retour sur la régression linéaire, notion qui disparaît de la nouvelle édition 2026 mais reste pertinente pour la cohorte actuellement en deuxième année.

Variables à densité et statistiques

Les probabilités passent aux variables aléatoires à densité. Le programme traite notamment les lois exponentielle et normale, l’espérance, la variance et les outils d’inégalité tels que Markov et Bienaymé-Tchebychev. L’indépendance de variables à densité est également étudiée.

La partie statistique utilise une suite de variables indépendantes de même loi et les moyennes empiriques. La loi faible des grands nombres est démontrée dans le cas de variance finie par l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev. Le programme conduit aussi à une première discussion des intervalles de confiance.

Cette approche ne doit pas être confondue avec un cours complet de probabilités avancées : le théorème central limite n’appartient pas au programme 2017 de B/L2 et la loi de la somme de deux variables à densité n’est pas un résultat exigible général.

Des limites utiles pour calibrer les exercices

Pour la réduction, la pratique effective de la diagonalisation reste limitée au cas 2 × 2. Pour la géométrie, seul le produit scalaire usuel de ℝⁿ est exigible. Pour les fonctions de deux variables, le programme cherche surtout à donner les outils nécessaires aux exemples et à l’optimisation locale, sans installer tout le calcul différentiel abstrait.

En probabilités et statistiques, l’objectif est de comprendre les variables à densité, l’indépendance, les moyennes empiriques et l’estimation élémentaire. Un devoir destiné à la B/L2 en 2026-2027 doit donc rester dans ces frontières, même si le nouveau texte de 2026 est déjà publié.

Ce qui change à partir de 2027-2028

À la rentrée universitaire 2027, la deuxième année basculera à son tour vers le nouveau programme publié en avril 2026. Celui-ci conserve les grands blocs d’algèbre et géométrie, d’étude locale, de fonctions de deux variables et de probabilités, mais il s’inscrit dans une progression revue dès la première année : algèbre linéaire clarifiée, outils de comparaison asymptotique plus présents, convergence absolue introduite et régression linéaire supprimée.

Cette page est donc volontairement datée dans son interprétation : pour 2026-2027, le détail ci-dessus décrit les connaissances exigibles de la cohorte actuellement en khâgne. Le passage au nouveau programme de deuxième année devra être pris en compte à partir de septembre 2027.