Programme de mathématiques appliquées en ECG2

Une deuxième année qui formalise et relie les outils

ECG2 prolonge les méthodes calculatoires et probabilistes de première année en ajoutant les structures nécessaires à des modèles plus riches. L’algèbre linéaire devient plus générale, l’analyse gagne des outils asymptotiques et des intégrales généralisées, et les probabilités conduisent aux chaînes de Markov puis à l’estimation.

Le programme reste orienté vers l’usage. Les nouvelles notions sont introduites pour résoudre des problèmes, étudier des évolutions et interpréter des modèles issus notamment de l’économie, de la gestion et des sciences sociales. Python demeure présent pour expérimenter, simuler et traiter les données.

Comme en première année, le texte officiel distingue deux semestres. Le troisième semestre installe une partie des outils nouveaux ; le quatrième les complète notamment par le calcul à deux variables et l’estimation.

Algèbre linéaire : dimension finie et diagonalisation

Les espaces vectoriels réels de dimension finie, les applications linéaires, les changements de base et les matrices semblables entrent dans le cadre du programme. La réduction porte ensuite sur les valeurs propres, le spectre et les matrices diagonalisables.

Un polynôme annulateur peut être exploité pour rechercher des valeurs propres ou établir certaines propriétés, mais il ne devient pas un objet de théorie autonome : aucune connaissance supplémentaire sur les polynômes annulateurs n’est exigible. La réduction doit rester conforme au degré de technicité prévu par l’annexe.

La diagonalisation est appliquée au calcul de puissances, à des suites récurrentes linéaires et à des systèmes différentiels linéaires à coefficients constants. L’exponentielle de matrice n’est pas au programme.

Analyse : équivalents, séries et intégrales généralisées

La deuxième année introduit les notations de négligeabilité et d’équivalence pour comparer suites et fonctions. Les séries et les intégrales généralisées complètent les outils d’analyse nécessaires à l’étude de modèles et de lois de probabilité.

Les développements limités restent ciblés : le programme privilégie les outils réellement utiles plutôt qu’une accumulation de techniques asymptotiques. Les calculs doivent servir l’analyse d’un phénomène et non devenir une fin en soi.

Ces chapitres marquent une frontière nette avec ECG1 appliquées : ils ne doivent pas être considérés comme des prérequis d’un devoir de première année.

Fonctions de deux variables et optimisation

Au quatrième semestre apparaissent les fonctions de deux variables : continuité sur ℝ², dérivées partielles, gradient, dérivées secondes et recherche d’extrema dans le cadre fixé par le programme.

Ce calcul à plusieurs variables est volontairement ciblé sur les besoins de la filière. Il fournit les outils d’optimisation adaptés à de nombreux problèmes économiques sans développer une théorie générale des espaces normés ou du calcul différentiel abstrait.

Un exercice peut donc être ambitieux sur la modélisation ou l’interprétation d’un optimum, mais il doit respecter les objets et résultats effectivement exigibles en ECG2 appliquées.

Probabilités, chaînes de Markov et estimation

Les probabilités étudient les couples de variables aléatoires discrètes puis les variables aléatoires à densité et les lois continues usuelles. Ces objets permettent d’articuler calcul, simulation et interprétation statistique.

Les chaînes de Markov constituent un thème caractéristique de l’option : elles relient probabilités, calcul matriciel et informatique. L’étude d’une évolution aléatoire peut ainsi mobiliser simultanément matrices de transition, puissances de matrices et simulations.

La statistique devient inférentielle avec l’estimation ponctuelle et les intervalles de confiance dans les cadres prévus par le texte. Les résultats doivent être lus en termes de modèle et d’incertitude, pas seulement comme des formules à appliquer.

Un programme appliqué, pas un programme simplifié

Le niveau de formalisation est différent de l’option approfondies, mais la deuxième année d’appliquées possède sa propre cohérence et ses propres difficultés : faire dialoguer plusieurs outils, construire un modèle, choisir une méthode adaptée et interpréter les résultats.

Pour un DM, cette identité se traduit naturellement par des problèmes mêlant matrices, probabilités, optimisation, graphes ou données. La richesse doit venir de ces interactions plutôt que de techniques algébriques ou analytiques extérieures au programme.