Classes préparatoires · ECT · Deuxième année
La deuxième année d’ECT approfondit le calcul matriciel et les probabilités : séries et intégrales généralisées servent aux lois discrètes infinies et à densité, puis viennent diagonalisation guidée, loi faible des grands nombres et estimation.
Le programme d’ECT2 prolonge directement celui de première année. Il vise le bagage nécessaire aux études d’économie et de gestion en Grande École ou à l’université, sans chercher à installer les théories générales rencontrées dans des filières plus mathématiques.
Quatre axes structurent particulièrement la deuxième année : le calcul matriciel et la réduction ; les séries et intégrales généralisées nécessaires aux probabilités ; l’approfondissement des variables aléatoires et de l’estimation ; enfin l’usage de Python et SQL pour simuler, traiter et interpréter des données.
La partie mathématique est à nouveau découpée en deux semestres, correspondant aux troisième et quatrième semestres de la formation.
Le calcul matriciel est repris avec une étude plus spécifique des matrices carrées. Les inverses sont calculés notamment par pivot de Gauss ou par résolution de AX = Y, et les calculs à la main restent limités aux matrices d’ordre inférieur ou égal à 3.
L’intégration sur un segment est complétée par la linéarité, la positivité, la comparaison et l’intégration par parties. Les sommes finies sont retravaillées avec les sommes télescopiques et des décalages d’indice simples.
Les séries numériques sont introduites exclusivement pour leurs applications aux probabilités. Le programme définit convergence et somme, rappelle que le terme général d’une série convergente tend vers zéro et étudie la série géométrique. Les dérivées de séries géométriques ne sont pas exigibles et aucune technicité supplémentaire n’est recherchée.
En probabilités, on étudie les couples de variables aléatoires discrètes finies, leurs lois marginales et conditionnelles, l’indépendance, covariance et coefficient de corrélation linéaire. Le cadre est ensuite étendu aux variables discrètes positives d’image infinie dénombrable, avec notamment les lois géométrique et de Poisson.
La réduction reste volontairement très encadrée. Valeurs propres, vecteurs propres et diagonalisation sont étudiés sur des matrices carrées d’ordre inférieur ou égal à 3. Les exemples trop calculatoires sont explicitement évités.
Les polynômes d’une matrice et les polynômes annulateurs peuvent être utilisés, notamment pour obtenir un inverse ou rechercher des valeurs propres, mais toutes les indications nécessaires à l’obtention d’un polynôme annulateur doivent être fournies. Le polynôme minimal, la résolution générale de AX = λX avec paramètre et toute théorie générale de la réduction sont hors programme.
La recherche de vecteurs propres ne peut être demandée directement que lorsque la valeur propre est de multiplicité 1 ; dans les autres cas, les vecteurs propres doivent être fournis. La diagonalisation sert notamment au calcul de puissances et à l’étude guidée de certaines suites récurrentes. La méthode générale de résolution de ces récurrences est hors programme.
Les compléments d’analyse sont introduits uniquement pour les besoins des probabilités. Les intégrales généralisées étudiées portent sur des bornes infinies et sont calculées par primitives, relation de Chasles et passage à la limite. Les intégrales généralisées présentant une singularité en un point réel sont hors programme.
Les variables aléatoires à densité sont alors développées : fonction de répartition, densité, espérance, variance et transformations simples. Les lois uniforme, exponentielle et normale font partie des lois usuelles ; l’usage de la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite est attendu.
Les inégalités de Markov et de Bienaymé-Tchebychev sont utilisées, puis une loi faible des grands nombres est étudiée pour des suites de variables indépendantes ayant même espérance et même variance. Ces outils conduisent naturellement à la problématique de l’estimation.
L’estimation ponctuelle est présentée à partir de moyennes empiriques et de situations simples, notamment les lois de Bernoulli et de Poisson. Pour les intervalles de confiance, le texte insiste davantage sur la signification et le vocabulaire que sur une théorie générale.
Des intervalles obtenus à partir de Bienaymé-Tchebychev sont étudiés, ainsi qu’un intervalle de confiance pour la moyenne d’une loi normale lorsque l’écart-type est connu. Plusieurs résultats sont explicitement non exigibles comme connaissances à restituer : ils servent à comprendre les méthodes et à les mettre en œuvre dans des exercices contextualisés.
Le programme annuel d’informatique poursuit Python et SQL. Les statistiques descriptives deviennent bivariées : nuages de points, covariance empirique, corrélation et ajustement linéaire sont étudiés avec un regard critique sur les indicateurs.
SQL est prolongé par la création de tables et les jointures simples avec INNER JOIN, sans ouvrir à une théorie générale des bases de données. Python sert en particulier à simuler des lois et à approcher des espérances.
Le théorème limite central occupe une place subtile : le théorème lui-même n’est pas au programme comme résultat mathématique exigible. Il peut être énoncé sans formaliser la convergence et surtout exploré par simulation afin de comprendre l’apparition de la loi normale et les intervalles de confiance asymptotiques. Un devoir doit donc distinguer clairement ce qui peut être fourni ou observé de ce qui peut être demandé comme connaissance préalable.
ECT2 permet des problèmes riches mêlant matrices, suites, probabilités et données, mais la technicité reste délibérément contenue. Les matrices calculées à la main restent de petite taille ; la réduction est guidée et le polynôme minimal est hors programme ; les séries sont limitées aux outils nécessaires aux probabilités ; les intégrales généralisées avec singularité finie sont exclues ; l’estimation privilégie la compréhension plutôt qu’une théorie statistique abstraite.
Cette architecture se prête particulièrement bien à des devoirs de modélisation économique, de chaînes de calcul matriciel, de phénomènes aléatoires et d’analyse de données, à condition de respecter le niveau technologique de la filière et de fournir les résultats externes lorsque le programme ne les rend pas exigibles.
Sources officielles
Pour vérifier une définition, une limite du programme ou le statut d’une démonstration, consultez l’annexe officielle ci-dessous.
Programme de mathématiques-informatique ECT — seconde année
Bulletin officiel spécial n°1 du 11 février 2021 · NOR ESRS2035788A
Seconde année à partir de la rentrée scolaire 2022-2023
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