Programme de mathématiques en PT

Une deuxième année où la géométrie reste centrale

Le texte officiel couvre les classes PT et PT*. Le programme prolonge la PTSI en développant la réduction, les espaces préhilbertiens, les séries et les probabilités, mais il conserve une identité géométrique très marquée : fonctions vectorielles, courbes paramétrées, courbure, coniques et surfaces occupent plusieurs sections propres.

Le programme ne suit pas un découpage officiel en semestres. Il juxtapose des blocs d’algèbre, d’analyse, de probabilités et de géométrie qui peuvent être articulés différemment selon la progression choisie par l’enseignant.

Réduction : diagonalisation et trigonalisation, avec des limites précises

Après des compléments d’algèbre linéaire et les déterminants, le programme introduit les valeurs propres, les sous-espaces propres et le polynôme caractéristique. Il traite les critères de diagonalisation puis la trigonalisation.

Le critère est clair : un endomorphisme de dimension finie est trigonalisable si et seulement si son polynôme caractéristique est scindé ; toute matrice complexe est donc trigonalisable. En revanche, aucune technique de trigonalisation effective n’est au programme.

La PT se distingue aussi par une frontière algébrique nette : tout développement sur les polynômes d’endomorphisme est explicitement hors programme. Les calculs numériques de diagonalisation sont, dans la pratique, limités aux dimensions 2 et 3.

Espaces préhilbertiens, isométries et matrices symétriques

Le produit scalaire étudié géométriquement en PTSI est généralisé aux espaces préhilbertiens. Le programme comprend l’inégalité de Cauchy-Schwarz, l’orthogonalité, les bases orthonormées, l’algorithme de Gram-Schmidt et les projections orthogonales sur des sous-espaces de dimension finie.

Les isométries vectorielles et les matrices orthogonales sont ensuite étudiées, avec une attention particulière aux dimensions 2 et 3 : rotations, réflexions, orientation et réduction d’une isométrie directe de l’espace.

Pour les matrices symétriques réelles, le théorème spectral donne une diagonalisation orthogonale. La notion d’endomorphisme symétrique est toutefois hors programme : l’énoncé est formulé directement pour les matrices symétriques réelles.

Fonctions vectorielles et géométrie des courbes

Les fonctions vectorielles d’une variable réelle servent de cadre aux courbes paramétrées du plan et de l’espace. Le programme introduit les tangentes, la régularité, la longueur d’une courbe, l’abscisse curviligne et le repère de Frenet.

Pour les courbes planes apparaissent aussi la courbure, le rayon et le cercle de courbure, la développée ainsi que les enveloppes de familles de droites. Le texte demande de privilégier l’interprétation géométrique plutôt qu’une accumulation de formules ; les courbes définies par une équation polaire sont hors programme.

Séries numériques, séries entières et intégrales généralisées

Les séries numériques prolongent la première année : séries alternées, convergence absolue et produit de Cauchy figurent au programme. Le critère de Cauchy reste hors programme.

Les séries entières constituent ensuite un chapitre à part entière : rayon de convergence, régularité de la somme, série de Taylor et développements usuels. Le programme relie ces outils aux fonctions génératrices en probabilités et à certains exemples d’équations différentielles.

L’intégration est étendue aux intervalles quelconques. Sont étudiées les intégrales généralisées, l’intégrabilité, les comparaisons, l’intégration terme à terme ainsi que les intégrales dépendant d’un paramètre et leurs théorèmes de continuité ou de dérivation dans le cadre prévu par l’annexe.

Variables aléatoires discrètes

La PT généralise les probabilités finies de PTSI aux variables aléatoires discrètes. Le programme comprend notamment les lois usuelles, l’espérance, la variance, l’indépendance et les fonctions génératrices.

Les inégalités de Markov et de Bienaymé-Tchebychev conduisent à la loi faible des grands nombres pour une suite de variables aléatoires i.i.d. de variance finie. La théorie reste volontairement limitée : les différentes notions générales de convergence aléatoire et les variables à densité sont hors programme.

Équations différentielles et fonctions de plusieurs variables

L’étude des équations différentielles scalaires d’ordre 2 est étendue au cas de coefficients continus non constants. Le théorème de Cauchy linéaire fournit existence et unicité ; sa démonstration n’est pas exigible. Des exemples de recherche de solutions en série entière peuvent être proposés, avec des indications pour la résolution explicite.

Le calcul à plusieurs variables concerne principalement les fonctions de deux ou trois variables. Il comprend topologie élémentaire de ℝ² et ℝ³, dérivées partielles, gradient, règle de la chaîne, dérivées secondes, théorème de Schwarz, matrice hessienne et étude des extremums.

La notion de fonction différentiable et, plus généralement, la notion de différentielle sont explicitement hors programme. Le cadre repose donc sur les dérivées partielles et les formules prévues par le texte plutôt que sur la théorie générale du calcul différentiel en dimension finie.

Courbes implicites, coniques et surfaces

La dernière partie applique directement le calcul à plusieurs variables à la géométrie. Les courbes planes données par une équation cartésienne sont étudiées à l’aide du gradient et de la tangente en un point régulier. Les coniques sont définies géométriquement puis ramenées à leurs équations réduites ; le théorème spectral intervient pour réduire une équation générale du second degré.

Les surfaces sont étudiées sous forme paramétrée ou par équation cartésienne : points réguliers, plans tangents, vecteurs normaux, surfaces de niveau, surfaces réglées et surfaces de révolution. Les intersections de deux surfaces permettent également de traiter des courbes de l’espace.

Cette place accordée aux représentations et aux objets géométriques est l’une des caractéristiques les plus visibles du programme de PT.