Programme de mathématiques en PTSI

Une première année organisée en deux semestres

Le programme officiel de PTSI sépare explicitement l’année en deux semestres. Le premier installe les outils de calcul, d’analyse et de raisonnement indispensables à la suite ; le second développe davantage l’algèbre linéaire, la géométrie, l’intégration, les probabilités et les séries.

Comme dans les autres classes préparatoires scientifiques, le texte ne se réduit pas à une liste de techniques. Il fixe aussi six grandes compétences : chercher, modéliser, représenter, raisonner, calculer et communiquer. Les problèmes peuvent donc mobiliser plusieurs chapitres à la fois et demander une véritable démarche de recherche.

Premier semestre : calcul, analyse et matrices

Le début d’année reprend le raisonnement et le vocabulaire ensembliste, puis consolide le calcul algébrique et la trigonométrie. Les nombres complexes sont étudiés avant les techniques fondamentales de calcul différentiel et intégral.

Cette première partie comprend les fonctions d’une variable réelle à valeurs réelles ou complexes, les primitives et les équations différentielles linéaires. Elle poursuit avec les nombres réels et les suites numériques, puis les limites, la continuité et la dérivabilité des fonctions d’une variable réelle.

Le calcul matriciel et les systèmes linéaires ferment le premier semestre. Les matrices sont ainsi disponibles assez tôt pour les autres disciplines scientifiques et pour préparer l’algèbre linéaire du second semestre.

Deuxième semestre : géométrie et algèbre linéaire

L’analyse asymptotique ouvre le second semestre. Le programme consacre ensuite un chapitre entier à la géométrie du plan et de l’espace, avec coordonnées cartésiennes, coordonnées polaires dans le plan et cylindriques dans l’espace, produit scalaire, produit vectoriel et produit mixte, ainsi que l’étude des droites, cercles et plans dans les cadres prévus par l’annexe.

Les polynômes précèdent les espaces vectoriels, les espaces de dimension finie et les applications linéaires. Le lien avec le calcul matriciel est alors repris de façon structurelle : matrices d’applications linéaires, changements de bases et déterminants.

Pour les déterminants, le programme met l’accent sur les propriétés et les calculs utiles. La théorie générale des formes multilinéaires ainsi que la comatrice sont explicitement hors programme.

Intégration, dénombrement et probabilités

L’intégration sur un segment est approfondie au second semestre. Le dénombrement prépare ensuite les probabilités sur un univers fini : événements, variables aléatoires, lois, espérance et variance.

Cette partie donne un cadre mathématique aux modèles aléatoires simples et fournit les outils de première année qui seront prolongés en PT par les variables aléatoires discrètes.

Séries numériques : un premier cadre volontairement limité

La PTSI introduit les séries numériques par les sommes partielles, les séries géométriques, les séries à termes positifs et les comparaisons usuelles. Les séries de Riemann et la convergence absolue font partie du programme.

Deux frontières sont importantes : le critère de Cauchy et la notion de semi-convergence sont hors programme. Le texte introduit aussi le vocabulaire de suite sommable sans demander de développement théorique supplémentaire.

Fonctions de deux variables : une approche surtout pratique

La dernière section familiarise les étudiants avec les fonctions de deux variables, leurs dérivées partielles, le gradient, les dérivées selon une direction et la règle de la chaîne le long d’un arc. L’approximation linéaire est reliée au plan tangent à une surface.

Cette introduction reste volontairement pratique. La notion générale de fonction différentiable est hors programme en PTSI et le texte exclut les développements théoriques supplémentaires. Le cadre sera repris et élargi en deuxième année.

Ce qui distingue particulièrement la PTSI

La géométrie est présente de manière très visible dans la progression : elle n’est pas seulement une illustration de l’algèbre linéaire, mais un chapitre explicite consacré au plan et à l’espace. Cette orientation se prolonge naturellement en PT, où les courbes paramétrées, la courbure, les coniques et les surfaces occupent une place encore plus importante.