Programme de mathématiques en TB1

Une première année adaptée aux profils technologiques

Le programme de TB1 se situe explicitement dans la continuité du lycée et des séries STL et STAV. Le texte privilégie les applications, les exercices et les problèmes reliés, lorsque cela est pertinent, à la physique, à la chimie, aux biotechnologies et à la biologie, tout en évitant les développements formels ou purement théoriques.

Les trois grands domaines sont l’analyse, l’algèbre linéaire et les probabilités. Le programme insiste sur la modélisation et sur l’usage des mathématiques comme langage scientifique, tout en évitant la technicité calculatoire excessive.

La première année est organisée en deux semestres. Cette progression est importante pour calibrer une ressource : l’intégration, la structure de ℝⁿ et les probabilités finies appartiennent au second semestre et ne doivent pas être supposées acquises dès le début de l’année.

Premier semestre : outils de calcul, trigonométrie et complexes

Le début d’année consolide des outils élémentaires : calcul littéral, fractions, puissances, racines carrées, inégalités, équations et inéquations simples, sommes, suites arithmétiques et géométriques, factorielles et coefficients binomiaux. Le programme précise plusieurs limites de technicité : par exemple, les suites arithmético-géométriques ne constituent pas un attendu autonome.

La trigonométrie est reprise à partir du cercle trigonométrique, avec les fonctions sinus, cosinus et tangente, leurs symétries, périodes et principales formules d’addition et de duplication. Les autres identités trigonométriques ne sont pas des connaissances exigibles en tant que telles.

Les nombres complexes sont ensuite introduits avec leur représentation géométrique, le conjugué, le module et l’argument. Les équations du second degré à coefficients réels sont résolues dans ℂ. En revanche, la construction théorique de ℂ, les équations du second degré à coefficients complexes et les racines n-ièmes de l’unité sont hors programme.

Matrices et systèmes linéaires : une approche par le calcul

L’algèbre linéaire commence par les systèmes d’équations linéaires et la méthode du pivot de Gauss. En première année, les espaces considérés sont uniquement les ℝⁿ avec n ≤ 4, et les systèmes comportent au plus quatre équations et quatre inconnues.

Le calcul matriciel porte sur les matrices réelles ou complexes, leurs opérations usuelles, les matrices inversibles et l’écriture matricielle d’un système. Pour une matrice 2×2, le déterminant est utilisé pour caractériser l’inversibilité et écrire l’inverse lorsqu’il existe.

Une frontière importante doit être conservée : le déterminant des matrices de taille supérieure à 2 est hors programme en TB1. Le rang est relié au pivot, mais aucune théorie générale du rang n’est demandée à ce stade.

Fonctions, dérivées et équations différentielles

L’analyse consolide les fonctions numériques d’une variable : domaine de définition dans les cas simples, monotonie, extrema, comparaisons, fonctions usuelles, fonctions polynomiales, exponentielles, logarithmes et puissances. L’approche graphique reste importante.

Les calculs de limites et de dérivées sont approfondis, avec des applications aux variations et à la modélisation. Le programme introduit aussi le calcul de dérivées partielles d’une fonction de deux variables, en lien avec les usages scientifiques ; les règles générales de dérivation en chaîne pour plusieurs variables ne sont pas au programme.

Les équations différentielles linéaires à coefficients constants du premier et du second ordre sont étudiées dans des formes adaptées aux applications. Les situations de cinétique chimique, d’évolution biologique ou de physique fournissent des contextes naturels, avec des solutions particulières souvent guidées.

Second semestre : suites, continuité et intégration

Le second semestre structure davantage l’analyse. Les suites réelles sont étudiées avec monotonie, majoration, minoration, convergence et quelques outils de comparaison. Les notions de limite et de continuité des fonctions sont reprises avec une formulation plus rigoureuse, tout en restant reliées à l’interprétation graphique.

La dérivation est consolidée jusqu’au théorème des accroissements finis. L’inégalité des accroissements finis n’est pas un résultat à mémoriser comme tel : elle peut être retrouvée à partir du théorème lorsque cela est nécessaire.

Le calcul intégral porte sur les fonctions continues sur un segment. L’intégrale est d’abord reliée à l’aire, puis sont étudiées linéarité, positivité, relation de Chasles et théorème fondamental de l’analyse. Les sommes de Riemann sont hors programme. Pour l’intégration par parties et les changements de variable, les situations non élémentaires doivent être indiquées ou guidées.

Algèbre linéaire dans ℝⁿ, toujours avec n ≤ 4

Le second semestre donne un cadre plus structuré aux calculs matriciels : sous-espaces vectoriels de ℝⁿ, familles génératrices, indépendance linéaire, bases, dimension, coordonnées et rang d’une famille finie.

Les applications linéaires de ℝᵖ dans ℝⁿ sont introduites avec noyau, image, rang et matrice dans des bases données. Le programme reste toutefois délibérément en petite dimension et ne traite pas encore la réduction des endomorphismes.

Les valeurs propres et la diagonalisation appartiennent à TB2. Un problème de première année peut préparer ces idées, mais il ne doit pas les utiliser comme connaissances acquises.

Probabilités : un cadre fini

Les probabilités de TB1 sont étudiées sur un univers fini. Le programme comprend événements, probabilités conditionnelles, formule des probabilités totales, théorème de Bayes et indépendance.

Les variables aléatoires prennent donc un nombre fini de valeurs. Les lois uniforme finie, Bernoulli et binomiale sont étudiées avec fonction de répartition, espérance, variance et écart-type.

Les variables aléatoires à ensemble de valeurs infini, les séries probabilistes et les variables à densité sont réservées à la deuxième année.

Bien calibrer un problème de TB1

Un DM de TB1 peut être riche sans devenir artificiellement abstrait : modélisation d’une évolution biologique, exploitation d’un système linéaire, comparaison de modèles fonctionnels, calcul intégral ou problème probabiliste fini peuvent fournir un véritable fil directeur.

Le point essentiel est de respecter le niveau d’entrée et la philosophie du programme : raisonnement et modélisation comptent davantage que la sophistication formelle. Toute notion de TB2 ou toute technique au-delà des limites explicites de l’annexe doit être introduite si elle est nécessaire, et non présupposée.