Programme de mathématiques en TB2

Une deuxième année tournée vers la résolution de problèmes

TB2 approfondit les outils de première année tout en conservant la philosophie propre à la filière : les mathématiques servent à reformuler, modéliser et résoudre des problèmes issus notamment de la biologie, des biotechnologies, de la physique et de la chimie.

Le programme insiste sur la capacité à identifier un problème sous plusieurs angles, choisir des connaissances pertinentes et critiquer un modèle ou un résultat. La maîtrise du calcul est attendue, mais la virtuosité technique n’est pas un objectif.

La distinction avec TB1 est nette : plusieurs objets deviennent véritablement structurés en deuxième année, notamment l’algèbre linéaire générale, la diagonalisation, les développements limités, les probabilités infinies et les fonctions de plusieurs variables.

Algèbre linéaire : de ℝⁿ aux espaces de dimension finie

La deuxième année étend l’algèbre linéaire au cadre général des espaces vectoriels réels ou complexes de dimension finie. Applications linéaires, noyau, image, rang, théorème du rang, représentations matricielles et changements de base sont étudiés de manière plus systématique.

La géométrie euclidienne dans ℝⁿ introduit le produit scalaire canonique, la norme, l’orthogonalité, les bases orthonormales et la projection orthogonale sur un sous-espace. Cette dernière peut être interprétée comme un problème d’optimisation ou de meilleure approximation, par exemple pour comprendre l’ajustement affine.

Le cadre reste cependant volontairement concret et appliqué : le programme ne cherche pas une théorie abstraite des espaces préhilbertiens.

Valeurs propres et diagonalisation en petite dimension

Les valeurs propres, vecteurs propres et sous-espaces propres sont étudiés pour des endomorphismes ou des matrices de dimension au plus 4. La diagonalisation est caractérisée par la somme des dimensions des sous-espaces propres.

En pratique, la recherche des valeurs propres passe principalement par l’étude du système homogène associé à A − λI ou par son rang. Une frontière importante demeure : les déterminants de taille supérieure à 2 restent hors programme.

Les applications comprennent le calcul de puissances de matrices et l’étude de suites récurrentes ou de modèles itératifs issus des probabilités et de la biologie des populations. Le programme admet également que toute matrice symétrique réelle de taille au plus 4 est diagonalisable dans une base orthonormale.

Équivalents, dérivées d’ordre supérieur et développements limités

L’analyse introduit les équivalents et les dérivées d’ordre supérieur, puis les développements limités au voisinage de zéro. Les calculs doivent rester raisonnables : sur les exemples numériques, le programme recommande d’éviter les développements au-delà de l’ordre 3.

Les développements limités usuels concernent notamment 1/(1−x), ln(1+x), l’exponentielle, le sinus, le cosinus et (1+x)^α. La formule de Taylor-Young fournit le cadre général d’existence.

Les développements asymptotiques au sens plus large ne sont pas un attendu du programme, et la formule de Leibniz pour les dérivées d’ordre supérieur est hors programme.

Équations différentielles : consolidation et deux modèles non linéaires

Les équations différentielles linéaires de première année sont consolidées. TB2 ajoute une première approche de quelques équations différentielles non linéaires autonomes à travers des exemples précis, notamment y' + ky² = 0 et l’équation logistique normalisée y' = y(1−y).

L’objectif n’est pas de développer une théorie générale des équations autonomes. Le programme s’appuie au contraire sur des modèles scientifiques, par exemple en cinétique chimique ou en dynamique des populations, et sur des méthodes adaptées au cas étudié.

La méthode d’Euler complète cette approche par un point de vue numérique.

Séries et probabilités discrètes : une extension très encadrée

Les probabilités prennent une place centrale en TB2. Les séries à termes positifs sont introduites exclusivement pour le calcul probabiliste ; dans une épreuve de mathématiques, elles ne doivent intervenir que dans ce cadre.

Les variables aléatoires discrètes positives peuvent prendre une infinité dénombrable de valeurs. Loi de probabilité, fonction de répartition, espérance, variance, indépendance et lois usuelles sont étendues à ce nouveau cadre. La loi de Poisson apparaît parmi les lois classiques.

Cette restriction au cas positif est assumée par le programme : elle permet d’utiliser les séries sans construire une théorie générale plus large que nécessaire.

Variables à densité et intégrales généralisées

Les intégrales généralisées sont elles aussi introduites exclusivement pour les probabilités. Les critères de convergence autorisés restent limités à la comparaison et à l’équivalence pour des fonctions positives dans les situations prévues par l’annexe.

Le programme étudie les variables aléatoires positives à densité, leurs fonctions de répartition, espérance et variance, ainsi que les lois uniforme, exponentielle et normale. La transformation vers la loi normale centrée réduite doit être maîtrisée.

Démontrer de façon générale qu’une variable aléatoire admet une densité n’est pas un objectif du programme. L’invariance temporelle de la loi exponentielle n’est pas non plus un attendu.

Couples de variables, covariance et asymptotique probabiliste

Les couples de variables aléatoires discrètes sont abordés dans un cadre très limité : l’une des deux variables au moins doit être finie et prendre au plus quatre valeurs. Loi conjointe, lois marginales, lois conditionnelles, indépendance et covariance sont étudiées.

La loi de la somme ou du produit de deux variables aléatoires n’est pas un attendu autonome du programme. En revanche, la variance de X+Y et le rôle de la covariance font partie des outils disponibles.

L’étude asymptotique comprend les inégalités de Markov et de Bienaymé-Tchebychev, la loi faible des grands nombres et le théorème central limite, admis dans la formulation du programme. Le cas binomial est relié au théorème de Moivre-Laplace.

Une première statistique inférentielle

Le programme introduit un test de conformité à la moyenne, avec un cas particulier pour une proportion. Cette introduction doit rester élémentaire : les risques α et β et la puissance d’un test ne sont pas au programme.

Le mécanisme des tests peut être illustré et simulé en lien avec l’informatique. L’objectif est de comprendre une démarche de décision statistique, pas de développer une théorie complète des tests.

Fonctions de deux variables : un périmètre volontairement réduit

Les dérivées partielles, déjà calculées en TB1, sont replacées dans un cadre plus structuré pour les fonctions de ℝ² dans ℝ. On introduit les fonctions partielles, les dérivées partielles, les extrema locaux et les points critiques.

Le programme reste volontairement élémentaire : les règles générales de dérivation en chaîne pour plusieurs variables sont hors programme. L’étude se limite aux fonctions de deux variables suffisamment régulières, même si des phénomènes à trois variables peuvent être évoqués.

Cette partie convient particulièrement à des problèmes de modélisation scientifique ou d’optimisation simple, sans exiger une théorie générale du calcul différentiel.

Bien calibrer un problème de TB2

Un DM de TB2 peut relier plusieurs chapitres de façon naturelle : matrice et dynamique d’une population, projection et ajustement, probabilités et séries positives, loi normale et prise de décision, ou équation différentielle et modèle biologique.

Le bon niveau n’est pas celui d’une prépa généraliste simplement « simplifiée ». Il faut respecter les frontières propres à TB : petite dimension pour la réduction, séries et intégrales généralisées cantonnées au cadre probabiliste, calcul différentiel multivariable élémentaire et priorité donnée à la modélisation plutôt qu’à la technicité formelle.