Programme de mathématiques en TSI1

Une première année pensée pour les parcours technologiques

Le programme de mathématiques de TSI1 est organisé en deux semestres. Il cherche à consolider les acquis du lycée tout en installant progressivement les outils nécessaires aux sciences de l’ingénieur, à la physique-chimie et à la seconde année de prépa. La modélisation, le calcul et le passage entre représentations algébriques, géométriques et numériques occupent une place importante.

Cette progressivité est particulièrement visible au début de l’année : certaines notions sont d’abord utilisées de manière calculatoire avant leur étude théorique complète. Le texte tient aussi compte de la diversité des parcours technologiques. Par exemple, il précise que les étudiants issus de STL peuvent ne pas avoir étudié les nombres complexes au lycée et qu’un accompagnement adapté est alors nécessaire.

Premier semestre : calcul, complexes, géométrie et équations différentielles

Le premier semestre commence par une pratique calculatoire : fonctions usuelles, dérivées, primitives, intégrales simples, sommes et produits. À ce stade, l’objectif est l’aisance dans les calculs utiles aux autres disciplines, sans développer immédiatement toute la théorie de l’analyse.

Les nombres complexes sont ensuite étudiés de façon substantielle : forme algébrique et trigonométrique, module et argument, exponentielle complexe, interprétation géométrique, équations du second degré, racines de l’unité et racines n-ièmes. La construction de l’ensemble des complexes n’est pas demandée.

L’étude globale des fonctions réelles d’une variable comprend notamment exponentielle, logarithme, fonctions trigonométriques et fonctions trigonométriques réciproques. Les fonctions hyperboliques ne font pas partie du programme. La géométrie plane et la géométrie de l’espace sont également présentes : vecteurs, droites, plans, produits scalaires et outils de repérage sont reliés aux besoins des disciplines scientifiques.

Les équations différentielles linéaires du premier ordre et du second ordre à coefficients constants sont étudiées sur des formes de second membre calibrées. Les théorèmes d’existence et d’unicité associés aux problèmes de Cauchy peuvent être utilisés, mais leurs démonstrations ne sont pas exigibles. Les systèmes linéaires et le dénombrement complètent ce premier semestre.

Second semestre : suites, analyse et développements limités

Le second semestre formalise les nombres réels et les suites. Les bornes supérieure et inférieure sont introduites uniquement dans la mesure nécessaire au théorème de la limite monotone ; la construction de ℝ est hors programme. Les étudiants doivent reconnaître une suite extraite et peuvent s’en servir pour étudier une divergence, mais le programme n’installe pas une théorie générale de compacité des suites.

Limites et continuité des fonctions sont ensuite étudiées rigoureusement, puis la dérivabilité et ses principaux théorèmes : Rolle, accroissements finis, variations et extrema. L’intégration sur un segment comprend le théorème fondamental, l’intégration par parties, les changements de variable simples et les formules de Taylor prescrites par le programme.

Les développements limités constituent un bloc important, mais leur technicité est volontairement bornée. Il faut savoir calculer et exploiter des développements limités simples, utiliser Taylor-Young et les développements usuels. Les calculs à ordre élevé ne sont pas un objectif ; la division suivant les puissances croissantes et toute théorie générale de composition sont hors programme.

Polynômes, matrices et algèbre linéaire

Les polynômes sont étudiés avant le calcul matriciel et l’algèbre linéaire. Le programme introduit ensuite les espaces vectoriels sur ℝ ou ℂ, les sous-espaces, les familles libres et génératrices, les bases, la dimension, les applications linéaires, le noyau, l’image et le théorème du rang.

La représentation matricielle en dimension finie relie les applications linéaires aux matrices. Les étudiants étudient matrices de passage, changements de bases, matrices semblables et différentes notions de rang. Les calculs à la main doivent rester raisonnables et le pivot de Gauss demeure l’outil central.

Une frontière importante sépare les deux années : la diagonalisation est hors programme de TSI1. La réduction des endomorphismes, le polynôme caractéristique et la théorie générale des déterminants appartiennent à la deuxième année.

Probabilités : univers fini et variables aléatoires finies

La première année pose un cadre probabiliste sur un univers fini. Événements, équiprobabilité, probabilités conditionnelles, formule des probabilités totales, formule de Bayes et indépendance d’événements sont au programme. L’indépendance d’une famille finie est distinguée de l’indépendance deux à deux.

Les variables aléatoires réelles sont elles aussi limitées à un univers fini. Loi, espérance, variance et lois finies usuelles permettent de modéliser des expériences simples. Le passage aux univers dénombrables et aux variables aléatoires discrètes de support infini est réservé à TSI2.

Quelques frontières utiles pour choisir exercices et DM

La première année est riche mais reste très guidée dans plusieurs domaines. L’étude d’une suite définie par récurrence doit être accompagnée ; la théorie abstraite des suites extraites n’est pas installée. Les développements limités doivent rester de complexité raisonnable. En algèbre, la diagonalisation n’est pas encore exigible. En probabilités, l’univers reste fini.

Ces limites sont essentielles pour calibrer un devoir de TSI1 : il peut faire travailler des raisonnements ambitieux, mais avec les outils réellement disponibles à ce stade et en valorisant les interactions avec la modélisation, la physique et les sciences industrielles.