Programme de mathématiques en TSI2

Une deuxième année qui relie algèbre, analyse et modélisation

TSI2 prolonge directement les outils de première année et les pousse vers des objets très présents dans les sciences de l’ingénieur : réduction de matrices, systèmes différentiels, séries de Fourier, probabilités discrètes et fonctions de plusieurs variables. Le programme reste attentif à la maîtrise effective des calculs et limite explicitement plusieurs développements trop théoriques ou trop techniques.

Les principaux blocs sont les compléments d’algèbre linéaire, les déterminants et la réduction, les courbes paramétrées, l’intégration sur un intervalle quelconque, les séries numériques et entières, les espaces préhilbertiens et euclidiens, les isométries, les séries de Fourier, les probabilités dénombrables, les équations différentielles linéaires et les fonctions de plusieurs variables.

Déterminants et réduction des endomorphismes

La théorie du déterminant est introduite pour les matrices carrées puis pour les endomorphismes. Les propriétés utiles au calcul, le lien avec l’inversibilité, le développement suivant une ligne ou une colonne et l’interprétation géométrique en dimensions 2 et 3 sont au programme. La comatrice est hors programme, tout comme la théorie générale des formes multilinéaires.

La réduction traite valeurs propres, vecteurs propres, sous-espaces propres, spectre et polynôme caractéristique. Les critères de diagonalisation sont étudiés, puis la trigonalisation : un endomorphisme est trigonalisable si et seulement si son polynôme caractéristique est scindé. En particulier, tout endomorphisme d’un espace vectoriel complexe de dimension finie est trigonalisable.

Cette théorie possède cependant des frontières nettes : aucune technique de trigonalisation effective n’est exigible et le théorème de Cayley-Hamilton est hors programme. Le texte utilise des polynômes annulateurs dans certains raisonnements, mais précise que tout développement général sur les polynômes d’endomorphisme ou de matrice est hors programme. Le polynôme minimal n’est pas une notion du programme.

La réduction est appliquée au calcul de puissances de matrices, aux récurrences vectorielles et à des problèmes issus des équations différentielles.

Intégrales impropres, séries numériques et séries entières

L’intégration est étendue aux intervalles non compacts ou aux intégrandes possédant une singularité en bord. La convergence absolue d’une intégrale implique sa convergence, et les comparaisons asymptotiques servent à étudier l’intégrabilité.

Les séries numériques prolongent l’étude des suites. Séries positives, comparaison, série-intégrale, séries de Riemann, règle de d’Alembert, convergence absolue et séries alternées sont au programme. L’objectif central annoncé est la maîtrise de la convergence absolue ; l’étude des séries semi-convergentes est essentiellement limitée au théorème des séries alternées. Pour les séries positives, le texte précise que toute règle de comparaison autre que celles prescrites est hors programme.

Les séries entières sont étudiées avec leur rayon de convergence et les propriétés de leur somme. Pour une variable réelle, la dérivation et l’intégration terme à terme conduisent aux développements en série entière des fonctions usuelles et à des applications aux équations différentielles.

Espaces euclidiens, isométries et séries de Fourier

Le programme introduit les espaces préhilbertiens réels et les espaces euclidiens : produit scalaire, norme, orthogonalité, familles orthonormées et projections orthogonales. Les isométries vectorielles sont étudiées, notamment en dimensions 2 et 3.

Pour les matrices symétriques réelles, le théorème spectral est au programme : elles sont orthogonalement diagonalisables. La démonstration n’est pas exigible et la notion abstraite d’endomorphisme symétrique est explicitement hors programme.

Les séries de Fourier relient analyse et géométrie euclidienne. Les étudiants calculent les coefficients trigonométriques de fonctions périodiques continues par morceaux, utilisent les sommes de Fourier et le théorème de Parseval, avec l’interprétation de la somme partielle comme projection orthogonale.

Probabilités sur un univers dénombrable

La deuxième année complète d’abord les variables aléatoires finies avec l’indépendance de plusieurs variables et la covariance, puis passe aux univers dénombrables. Les résultats de première année sont étendus à ce nouveau cadre, sans développer la théorie générale des espaces probabilisés : la notion de tribu est hors programme.

Les variables aléatoires discrètes peuvent alors avoir un support infini. Espérance, variance et lois classiques sont étudiées, notamment les lois géométrique et de Poisson. L’approximation d’une loi binomiale par une loi de Poisson est illustrée numériquement dans le régime des événements rares.

Équations différentielles et fonctions de plusieurs variables

Les équations différentielles linéaires sont approfondies : premier et second ordre avec coefficients variables dans les cas prescrits, variation de la constante et problèmes de Cauchy. Les systèmes différentiels linéaires homogènes à coefficients constants sont écrits sous la forme X' = AX. Leur résolution est pratiquée de façon guidée lorsque la matrice A est diagonalisable ou trigonalisable ; cela n’introduit pas pour autant une méthode générale de trigonalisation effective.

La partie sur les fonctions de plusieurs variables est volontairement pratique. Les fonctions sont définies sur des parties de ℝ² ou ℝ³. Le programme introduit la topologie euclidienne élémentaire, les dérivées partielles, le gradient, les points critiques, les dérivées secondes, le théorème de Schwarz, des équations aux dérivées partielles simples et des recherches d’extrema.

La notion de différentielle en un point est hors programme de mathématiques. L’étude théorique de la continuité de fonctions de plusieurs variables n’est pas un attendu. Les changements de variables dans les EDP sont limités aux transformations suggérées, notamment affines ou polaires. Les applications géométriques concernent en particulier courbes et surfaces définies par des équations, points réguliers et plans tangents.

Frontières utiles pour calibrer un devoir de TSI2

TSI2 autorise des problèmes riches mêlant plusieurs chapitres, mais le programme impose des limites claires. Cayley-Hamilton et le polynôme minimal ne doivent pas être supposés connus ; aucune procédure générale de trigonalisation ne peut être exigée. En séries, la technicité des critères de convergence doit rester dans la liste prescrite. En probabilités, le cadre reste discret et dénombrable, sans théorie de la mesure. En plusieurs variables, le calcul différentiel abstrait n’est pas installé.

Ces frontières laissent néanmoins un espace important pour des DM structurés autour de systèmes dynamiques linéaires, de signaux périodiques, de probabilités discrètes ou de modèles à plusieurs paramètres, en restant fidèle au niveau de la filière.