Devoir maison de mathématiques · Conjecture de Crouzeix, champ numérique et X/ENS Maths A 2026
De 1 + √2 à 2 : le dernier pas vers la conjecture de Crouzeix
Un DM MP ambitieux qui repart des idées de Maths A X/ENS 2026, fait apparaître la barrière historique 1 + √2, puis reconstruit le mécanisme nouveau de Lorist–Schwenninger : exploiter toute une famille d’itérés pour obtenir la constante optimale 2 avant de raccorder l’argument à p(A) par un théorème analytique clairement isolé.
Objectifs
Ce que ce DM fait travailler
- Comprendre le champ numérique d’une matrice et l’énoncé de la conjecture de Crouzeix
- Montrer sur une matrice 2×2 pourquoi la constante 2 est optimale
- Relier le problème au sujet officiel X/ENS Maths A MP-MPI 2026 et à l’inégalité de von Neumann
- Reconstruire le mécanisme algébrique qui conduit à l’ancienne borne générale 1 + √2
- Démontrer une spécialisation matricielle du lemme de perturbation de Lorist–Schwenninger en exploitant simultanément tous les itérés
- Identifier précisément pourquoi le télescopage sur les itérés permet d’atteindre la constante optimale 2
- Utiliser un unique pont analytique admis pour conclure à l’inégalité de Crouzeix pour les polynômes
Avant de commencer
Prérequis utiles
Il n’est pas nécessaire de tout maîtriser parfaitement, mais ces notions doivent être déjà connues pour que le devoir reste un travail de raisonnement plutôt qu’un rattrapage de cours.
- Algèbre linéaire de MP : endomorphismes, matrices, valeurs propres et polynômes d’endomorphismes
- Espaces euclidiens réels et théorème spectral ; le cadre hermitien complexe nécessaire est entièrement introduit dans le sujet
- Normes, applications linéaires continues et norme subordonnée
- Suites, sommes géométriques et manipulations d’inégalités
Méthode
Comment l’utiliser
Prévoir environ 4 h 30 et garder une trace des essais, y compris ceux qui échouent.
Écrire une solution justifiée avant d’ouvrir le corrigé, même si certaines questions restent incomplètes.
Repérer les différences de méthode, de précision et de rédaction plutôt que seulement les résultats.