Diviser par zéro : vraiment impossible ?

Le point essentiel du problème est de distinguer deux affirmations : dans un corps non trivial, $0$ ne peut pas avoir d’inverse multiplicatif ; mais on peut agrandir l’univers et modifier certaines identités de façon cohérente pour rendre le réciproque total. La construction ci-dessous est la spécialisation à $K=\mathbb R$ ou $\mathbb C$ d’une wheel de fractions.

I — Ce que « impossible » signifie vraiment

(a) Pour tout $x\in K$, la distributivité donne

$$0x=(0+0)x=0x+0x.$$

En ajoutant l’opposé de $0x$ aux deux membres, on obtient

$$0=0x.$$

Ainsi $0x=0$ pour tout $x\in K$.

(b) S’il existait $u\in K$ tel que $0u=1$, la question précédente donnerait simultanément $0u=0$ et $0u=1$, donc $0=1$, ce qui est impossible dans $\mathbb R$ ou $\mathbb C$.

(c) La démonstration de (a) n’a utilisé que la distributivité et l’existence des opposés pour l’addition. Dès lors, une structure non triviale qui conserverait ces propriétés ne pourrait pas imposer $0u=1$. Pour rendre le réciproque total, il faudra donc éviter de demander que le réciproque de $0$ soit un inverse multiplicatif au sens habituel, ou modifier certaines lois algébriques.

(a) Pour tout $(a,b)\in K^2$, on a $ab=ba$, donc $(a,b)\mathcal R(a,b)$ : la relation est réflexive. Si $(a,b)\mathcal R(c,d)$, alors $ad=bc$, donc $cb=da$ par commutativité, et ainsi $(c,d)\mathcal R(a,b)$ : elle est symétrique.

(b) Posons

$$u=(1,0),\qquad v=(0,0),\qquad w=(0,1).$$

On a $u\mathcal Rv$ car $1\times0=0\times0$, et $v\mathcal Rw$ car $0\times1=0\times0$. En revanche,

$$1\times1\neq0\times0,$$

si bien que $u$ n’est pas en relation avec $w$. La relation $\mathcal R$ n’est donc pas transitive.

(c) Le couple $(0,0)$ satisfait automatiquement l’égalité du produit en croix avec tout couple : pour tout $(a,b)$,

$$0\cdot b=0\cdot a.$$

Il se trouve donc relié à tous les couples, alors que deux couples quelconques ne sont pas nécessairement reliés entre eux. C’est précisément ce qui détruit la transitivité.

[IDÉE] Le problème n’est pas « le dénominateur zéro » à lui seul : le couple nul est le point où la règle $ad=bc$ cesse de distinguer des directions différentes.

II — Des fractions qui gardent leur direction

(a) La relation $\sim$ est réflexive car $(a,b)=1\cdot(a,b)$ et $1\in K^*$. Elle est symétrique : si $(c,d)=\lambda(a,b)$ avec $\lambda\in K^*$, alors $(a,b)=\lambda^{-1}(c,d)$ avec $\lambda^{-1}\in K^*$. Enfin, elle est transitive : si $(c,d)=\lambda(a,b)$ et $(e,f)=\mu(c,d)$ avec $\lambda,\mu\in K^*$, alors $(e,f)=\mu\lambda(a,b)$ et $\mu\lambda\in K^*$. C’est donc une relation d’équivalence.

(b) Si $(c,d)=\lambda(a,b)$ avec $\lambda\neq0$, alors $ad=a(\lambda b)=\lambda ab=(\lambda a)b=bc$.

Réciproquement, supposons $(a,b)$ et $(c,d)$ non nuls et $ad=bc$.

Si $b\neq0$, alors $d\neq0$ : sinon $bc=0$, donc $c=0$, ce qui donnerait $(c,d)=(0,0)$. En posant $\lambda=d/b\in K^*$, on a, grâce à $ad=bc$,

$$\lambda a=\frac{ad}{b}=c, \qquad \lambda b=d.$$

Donc $(c,d)=\lambda(a,b)$.

Si $b=0$, alors $a\neq0$. L’égalité $ad=bc=0$ donne $d=0$. Comme $(c,d)$ est non nul, $c\neq0$ ; avec $\lambda=c/a\in K^*$, on obtient encore $(c,d)=\lambda(a,b)$.

Ainsi, pour deux couples non nuls,

$$(a,b)\sim(c,d)\quad\Longleftrightarrow\quad ad=bc.$$

(c) Si $(a,b)\sim(0,0)$, il existe $\lambda\in K^*$ tel que $(0,0)=\lambda(a,b)$. Comme $\lambda\neq0$, cela impose $a=b=0$. La classe de $(0,0)$ est donc le singleton $\{(0,0)\}$.

(a) Si $b\neq0$, alors

$$\left(\frac ab,1\right)=\frac1b(a,b),$$

avec $1/b\in K^*$. Ainsi

$$[a,b]=\left[\frac ab,1\right]=\iota\left(\frac ab\right).$$

Pour l’unicité, si $[t,1]=[s,1]$, il existe $\lambda\in K^*$ tel que $(s,1)=\lambda(t,1)$. La seconde coordonnée donne $1=\lambda$, puis la première donne $s=t$.

(b) Si $a\neq0$, $(1,0)=(1/a)(a,0)$, donc $[a,0]=[1,0]$. Tous les couples non nuls de la forme $(a,0)$ définissent la même classe.

(c) La classe $[1,0]$ ne peut être égale à un $[t,1]$, car une multiplication par un scalaire non nul ne peut transformer une seconde coordonnée nulle en une seconde coordonnée égale à $1$. De même, $[0,0]$ est une classe singleton d’après 3(c), donc elle est distincte de $[1,0]$ et de tous les $[t,1]$.

(d) Tout couple $(a,b)$ relève exactement d’un des trois cas :

• si $b\neq0$, sa classe est un unique $\iota(t)$ ;
• si $b=0$ et $a\neq0$, sa classe est $\infty=[1,0]$ ;
• si $a=b=0$, sa classe est $\bot=[0,0]$.

Ces trois parties sont deux à deux disjointes. Par conséquent,

$$W=\iota(K)\sqcup\{\infty\}\sqcup\{\bot\}.$$

(a) Si $[a,b]=[c,d]\neq\bot$, il existe $\lambda\in K^*$ tel que $(c,d)=\lambda(a,b)$. Or multiplier un vecteur non nul par un scalaire non nul ne change pas la droite vectorielle qu’il engendre :

$$\operatorname{Vect}(c,d)=\operatorname{Vect}(\lambda a,\lambda b)=\operatorname{Vect}(a,b).$$

Ainsi $L$ est bien définie.

(b) Soit $D\in\mathcal D$. Comme $D$ est de dimension $1$, il existe un vecteur non nul $(a,b)$ qui l’engendre. Alors $[a,b]\neq\bot$ et $L([a,b])=D$. Donc $L$ est surjective.

Supposons maintenant $L([a,b])=L([c,d])$ avec les deux couples non nuls. Les deux vecteurs engendrent la même droite, donc il existe $\lambda\in K^*$ tel que $(c,d)=\lambda(a,b)$. Ainsi $[a,b]=[c,d]$. L’application $L$ est injective, donc bijective.

(c) Pour $t\in K$,

$$L(\iota(t))=\operatorname{Vect}(t,1),$$

alors que

$$L(\infty)=\operatorname{Vect}(1,0).$$

Toute droite autre que $\operatorname{Vect}(1,0)$ contient un vecteur dont la seconde coordonnée est non nulle ; après normalisation de cette coordonnée à $1$, elle s’écrit de manière unique $\operatorname{Vect}(t,1)$. La droite $\operatorname{Vect}(1,0)$ est donc exactement la direction qui manque à ce paramétrage par $t\in K$.

[IDÉE] L’ensemble $W\setminus\{\bot\}$ est ainsi la droite projective $\mathbb P^1(K)$, introduite ici uniquement comme l’ensemble des droites vectorielles de $K^2$. Le point $\bot$ correspond au couple nul, qui ne détermine aucune direction.

III — Faire du calcul sans choisir de représentant

6. Prenons d’autres représentants des mêmes classes : $(a',b')=\lambda(a,b)$ et $(c',d')=\mu(c,d)$ avec $\lambda,\mu\in K^*$.

Pour l’addition,

$$a'd'+c'b'=\lambda\mu(ad+bc), \qquad b'd'=\lambda\mu bd.$$

Le nouveau couple obtenu est donc $\lambda\mu$ fois l’ancien. Comme $\lambda\mu\in K^*$, il représente la même classe.

Pour la multiplication,

$$(a'c',b'd')=\lambda\mu(ac,bd),$$

ce qui donne encore la même classe. Enfin $(b',a')=\lambda(b,a)$, donc $\rho([a,b])=[b,a]$ ne dépend pas non plus du représentant. Les trois opérations sont bien définies sur $W$.

(a) Les formules sont symétriques en $(a,b)$ et $(c,d)$, puisque $K$ est commutatif : addition et multiplication sont commutatives.

Pour $x=[a,b]$,

$$[a,b]+[0,1]=[a,b]$$

et

$$[a,b][1,1]=[a,b].$$

Ainsi $0_W=[0,1]$ est neutre pour l’addition et $1_W=[1,1]$ pour la multiplication.

(b) Soient $x=[a,b]$, $y=[c,d]$ et $z=[e,f]$. Alors

$$(x+y)+z=[ad+bc,bd]+[e,f]=[adf+bcf+bde,bdf].$$

D’autre part,

$$x+(y+z)=[a,b]+[cf+de,df]=[adf+bcf+bde,bdf].$$

L’addition est associative.

Pour la multiplication,

$$(xy)z=[ac,bd][e,f]=[ace,bdf]$$

et

$$x(yz)=[a,b][ce,df]=[ace,bdf].$$

Elle est donc associative.

(c) On a immédiatement

$$\rho(\rho([a,b]))=\rho([b,a])=[a,b].$$

De plus,

$$\rho(xy)=\rho([ac,bd])=[bd,ac],$$

alors que

$$\rho(x)\rho(y)=[b,a][d,c]=[bd,ac].$$

Ainsi $\rho(\rho(x))=x$ et $\rho(xy)=\rho(x)\rho(y)$.

8. Si $\iota(s)=\iota(t)$, alors $[s,1]=[t,1]$ ; l’unicité démontrée en 4(a) donne $s=t$. Donc $\iota$ est injective.

Ensuite,

$$\iota(s)+\iota(t)=[s,1]+[t,1]=[s+t,1]=\iota(s+t),$$

et

$$\iota(s)\iota(t)=[s,1][t,1]=[st,1]=\iota(st).$$

Enfin $\iota(0)=[0,1]=0_W$ et $\iota(1)=[1,1]=1_W$. L’identification de $K$ à son image dans $W$ respecte donc l’addition et la multiplication.

(a) Si $a\in K^*$,

$$\rho(a)=\rho([a,1])=[1,a]=[1/a,1]=\frac1a.$$

Pour les trois éléments particuliers,

$$\rho(0)=\infty, \qquad \rho(\infty)=0, \qquad \rho(\bot)=\bot.$$

(b) Pour $a\in K$,

$$a+\infty=[a,1]+[1,0]=[1,0]=\infty,$$

et

$$a+\bot=[a,1]+[0,0]=[0,0]=\bot.$$

Enfin,

$$\infty+\infty=[1,0]+[1,0]=[0,0]=\bot.$$

(c) Si $a\in K^*$,

$$a\infty=[a,1][1,0]=[a,0]=\infty.$$

En revanche,

$$0\infty=[0,1][1,0]=[0,0]=\bot.$$

On a aussi $\infty^2=[1,0][1,0]=[1,0]=\infty$. Enfin, si $x=[a,b]$,

$$x\bot=[a,b][0,0]=[0,0]=\bot.$$

L’élément $\bot$ est donc absorbant pour la multiplication, comme il l’était pour l’addition d’après (b).

(d) Par définition,

$$\frac10=1\rho(0)=\infty, \qquad \frac00=0\rho(0)=\bot, \qquad \frac1\infty=1\rho(\infty)=0.$$

Ces égalités ne sont pas des conventions ajoutées : elles ont été déduites de la construction par classes et des opérations de fractions.

IV — Les lois usuelles résistent-elles ?

10. Comme $0+1=1$ dans la copie de $K$,

$$(0+1)\infty=1\infty=\infty.$$

Mais

$$0\infty+1\infty=\bot+\infty=\bot.$$

Or $\infty\neq\bot$. La distributivité usuelle $(x+y)z=xz+yz$ n’est donc pas une identité de $W$.

11. Écrivons $x=[a,b]$, $y=[c,d]$ et $z=[e,f]$. On a d’abord

$$(x+y)z=[ad+bc,bd][e,f]=[e(ad+bc),bdf].$$

Par ailleurs,

$$0_Wz=[0,1][e,f]=[0,f].$$

Ainsi

$$(x+y)z+0_Wz=[e(ad+bc),bdf]+[0,f]=[ef(ad+bc),bdf^2].$$

De l’autre côté,

$$xz=[ae,bf], \qquad yz=[ce,df],$$

donc

$$xz+yz=[aedf+cebf,bdf^2]=[ef(ad+bc),bdf^2].$$

Les deux représentants sont même égaux, donc

$$(x+y)z+0_Wz=xz+yz.$$

[IDÉE] Le terme $0_Wz$ mesure exactement le défaut de la distributivité usuelle. Lorsque $0_Wz=0_W$, l’identité précédente redevient la distributivité familière.

(a) Si $x=[a,b]$, alors

$$-x=(-1)x=[-1,1][a,b]=[-a,b].$$

Par conséquent,

$$x-x=[a,b]+[-a,b]=[0,b^2].$$

D’autre part, $x^2=[a^2,b^2]$, puis

$$0_Wx^2=[0,1][a^2,b^2]=[0,b^2].$$

Donc

$$x-x=0_Wx^2.$$

(b) On a $[0,b^2]=[0,1]$ exactement lorsque $b\neq0$ : si $b\neq0$, les deux couples diffèrent par le facteur non nul $1/b^2$ ; si $b=0$, on obtient $[0,0]=\bot\neq0_W$.

Ainsi $x-x=0_W$ si et seulement si $x$ possède un représentant dont le dénominateur est non nul, c’est-à-dire, d’après la question 4, si et seulement si $x\in K$.

13. Soit $x=[a,b]$. On a

$$\frac{x}{x}=x\rho(x)=[a,b][b,a]=[ab,ab].$$

D’abord $0_Wx=[0,b]$. Donc

$$\frac{0_Wx}{x}=[0,b][b,a]=[0,ab].$$

Puis

$$1_W+\frac{0_Wx}{x}=[1,1]+[0,ab]=[ab,ab].$$

Ainsi

$$\frac{x}{x}=1_W+\frac{0_Wx}{x}.$$

La classe $[ab,ab]$ vaut $1_W=[1,1]$ exactement lorsque $ab\neq0$. Si $ab=0$, le couple est $(0,0)$ et la classe vaut $\bot$. Donc $x/x=1_W$ exactement pour les éléments $x\in K^*$.

14. Par définition de la division,

$$\frac{x}{z}=x\rho(z), \qquad \frac{y}{z}=y\rho(z).$$

Appliquons l’identité de la question 11 avec $\rho(z)$ à la place de $z$ :

$$(x+y)\rho(z)+0_W\rho(z)=x\rho(z)+y\rho(z).$$

C’est exactement

$$\frac{x+y}{z}+\frac{0_W}{z}=\frac{x}{z}+\frac{y}{z}.$$

(a) Si $z\in K^*$, alors $\rho(z)=1/z\in K$ et $0_W/z=0_W$. On retrouve donc

$$\frac{x}{z}+\frac{y}{z}=\frac{x+y}{z}.$$

(b) Pour $x=y=1$ et $z=0$,

$$\frac10+\frac10=\infty+\infty=\bot,$$

alors que

$$\frac{1+1}{0}=\frac20=\infty.$$

La règle sans terme correctif donnerait donc deux éléments différents. En revanche,

$$\frac20+\frac00=\infty+\bot=\bot,$$

ce qui rétablit bien l’identité démontrée.

V — Où se cache le corps de départ ?

(a) Si $x=[a,b]$, alors

$$0_Wx=[0,1][a,b]=[0,b].$$

Si $b\neq0$, on a $[0,b]=[0,1]=0_W$, car $(0,1)=(1/b)(0,b)$. Si $b=0$, alors $[0,b]=[0,0]=\bot\neq0_W$. Ainsi

$$x\in W_{\mathrm{reg}}\quad\Longleftrightarrow\quad b\neq0.$$

Cette condition ne dépend pas du représentant puisque le changement de représentant multiplie $b$ par un scalaire non nul.

(b) La question 4(a) a montré que les classes possédant un représentant à seconde coordonnée non nulle sont exactement les classes $\iota(t)$ avec $t\in K$. Par conséquent,

$$W_{\mathrm{reg}}=\iota(K).$$

Avec l’identification de la question 8, cela s’écrit simplement $W_{\mathrm{reg}}=K$.

(c) La question 8 donne déjà, pour $s,t\in K$, les lois usuelles d’addition et de multiplication lorsqu’on calcule dans $W$. De même, $-s=(-1)s$ est l’opposé usuel. Les trois opérations restreintes à $W_{\mathrm{reg}}$ sont donc exactement celles du corps $K$.

Si $x\in K^*$, alors la question 9 donne $\rho(x)=1/x\in K^*$, et la question 13 donne $x/x=1_W$. En revanche,

$$\rho(0)=\infty\notin W_{\mathrm{reg}}.$$

On retrouve donc exactement l’arithmétique du corps sur la partie régulière : les lois usuelles y fonctionnent comme avant, et le réciproque ordinaire reste une opération définie seulement sur $K^*$ lorsqu’on exige qu’il demeure dans cette partie.

[IDÉE] La wheel n’abolit pas le corps de départ : elle le contient comme région où les « termes de zéro » s’annulent. C’est précisément le phénomène mis en avant dans la théorie générale des wheels.

VI — On pouvait choisir autrement

(a) Si $x\neq0$, alors

$$x\,j_c(x)\,x=x\frac1x x=x.$$

Si $x=0$, alors $0\,j_c(0)\,0=0\cdot c\cdot0=0$. Ainsi, pour tout $c\in K$ et tout $x\in K$,

$$x\,j_c(x)\,x=x.$$

(b) Supposons d’abord $c=0$. Si $x\neq0$, alors $j_0(x)=1/x\neq0$ et $j_0(j_0(x))=j_0(1/x)=x$. Pour $x=0$, $j_0(j_0(0))=j_0(0)=0$. Donc $j_0$ est une involution.

Réciproquement, supposons $j_c$ involutive. En appliquant l’identité à $x=0$,

$$0=j_c(j_c(0))=j_c(c).$$

Si $c\neq0$, alors $j_c(c)=1/c\neq0$, contradiction. Il faut donc $c=0$.

Ainsi

$$j_c\text{ est une involution}\quad\Longleftrightarrow\quad c=0.$$

Le choix $c=0$ conduit à la totalisation $0^{-1}=0$ utilisée dans les champs zéro-totalisés et dans les meadows involutifs. La construction principale du devoir fait un choix structurel différent : elle agrandit l’ensemble et fait apparaître $\infty$ et $\bot$. Dans les common meadows, on adjoint plutôt un élément d’erreur, image de $0$ par le réciproque, qui se propage dans les opérations. D’autres arithmétiques totales, comme certaines constructions transréelles, distinguent des infinis signés $+\infty$ et $-\infty$. Aucun de ces choix n’est une « correction » de la valeur ordinaire de $1/0$ : ce sont des extensions différentes, conçues pour préserver des familles différentes d’identités.

Sources

[SOURCE] Jesper Carlström, Wheels — On Division by Zero, Mathematical Structures in Computer Science 14(1), 143–184, 2004. Article publié : Lien direct.

[SOURCE] Jesper Carlström, Wheels — On Division by Zero, Research Reports in Mathematics 11, Stockholm University, 2001. Version complète à l’origine de la construction : Lien direct.

[SOURCE] Jan A. Bergstra et John V. Tucker, Division Safe Calculation in Totalised Fields, Theory of Computing Systems 43, 410–424, 2008. Lien direct.

[SOURCE] Jan A. Bergstra, Yoram Hirshfeld et John V. Tucker, Meadows and the Equational Specification of Division, Theoretical Computer Science 410, 1261–1271, 2009. Lien direct.

[SOURCE] Jan A. Bergstra et Alban Ponse, Division by Zero in Common Meadows, dans Software, Services, and Systems, LNCS 8950, 46–61, 2015. Lien direct. Version auteur : Lien direct.

[SOURCE] Jan A. Bergstra et John V. Tucker, The Wheel of Rational Numbers as an Abstract Data Type, LNCS 12669, 13–30, 2021. Lien direct.

[SOURCE] Jan A. Bergstra et John V. Tucker, On The Axioms Of Common Meadows: Fracterm Calculus, Flattening And Incompleteness, The Computer Journal 66(7), 1565–1572, 2023. Cette synthèse compare notamment plusieurs choix de totalisation, dont wheels et systèmes à infinis signés. Lien direct.

[SOURCE] Programme officiel de mathématiques MP/MP*, Bulletin officiel n°31 du 26 août 2021, annexe 1. Lien direct.

L’adaptation pédagogique du devoir est volontairement plus élémentaire que la construction générale de Carlström : pour $K=\mathbb R$ ou $\mathbb C$, la relation par changement d’échelle non nul est exactement la spécialisation de la congruence de fractions pertinente au cas d’un corps. Les identités des questions 11 à 13 reprennent des identités caractéristiques des wheels de fractions ; la progression par produit en croix, interprétation projective et récupération de la partie régulière est ici organisée pour un DM de niveau MP.