Diviser par zéro : vraiment impossible ?

On apprend très tôt que l’on ne peut pas « diviser par zéro ». Mais ce verdict ne signifie pas qu’un symbole comme $1/0$ porterait en lui une contradiction : il signifie d’abord que l’on ne peut pas donner à $0$ un inverse tout en conservant toutes les règles d’un corps non trivial. Ce problème propose de repartir de la construction des fractions elle-même et de demander ce qui se passe si l’on cesse, au départ, d’interdire les dénominateurs nuls.

Dans tout le problème, $K$ désigne $\mathbb R$ ou $\mathbb C$, et $K^*=K\setminus\{0\}$. Pour $(a,b)\in K^2$, on pensera au couple $(a,b)$ comme à une écriture homogène de la fraction $a/b$, sans supposer pour l’instant que $b$ est non nul.

I — Ce que « impossible » signifie vraiment

1. Dans $K$, on dispose des lois usuelles de l’addition et de la multiplication.

(a) Montrer que, pour tout $x\in K$,

$$0x=0.$$

(b) En déduire que $0$ ne possède pas d’inverse multiplicatif dans $K$.

(c) Identifier précisément les propriétés utilisées dans la démonstration de (a). Expliquer pourquoi elles empêchent d’imposer simultanément

$$0u=1$$

dans une structure non triviale.

2. Pour des fractions ordinaires à dénominateurs non nuls, l’égalité $a/b=c/d$ se lit $ad=bc$. Tentons d’utiliser cette règle sur tout $K^2$ : on définit

$$(a,b)\mathcal R(c,d) \quad\Longleftrightarrow\quad ad=bc.$$

(a) Étudier la réflexivité et la symétrie de $\mathcal R$.

(b) Étudier sa transitivité. Si elle échoue, construire un contre-exemple aussi simple que possible.

(c) Expliquer le rôle particulier joué par le couple $(0,0)$ dans cet échec.

La règle du produit en croix devient trop permissive au contact du couple nul. Conservons plutôt l’idée la plus élémentaire d’une fraction : multiplier simultanément son numérateur et son dénominateur par un même scalaire non nul ne doit rien changer.

II — Des fractions qui gardent leur direction

3. On définit sur $K^2$ la relation $\sim$ par

$$(a,b)\sim(c,d) \quad\Longleftrightarrow\quad \exists\lambda\in K^*,\ (c,d)=\lambda(a,b).$$

(a) Montrer que $\sim$ est une relation d’équivalence sur $K^2$.

(b) Montrer que, pour deux couples non nuls $(a,b)$ et $(c,d)$,

$$(a,b)\sim(c,d) \quad\Longleftrightarrow\quad ad=bc.$$

(c) Déterminer la classe du couple $(0,0)$.

On note désormais

$$W=K^2/\!\sim$$

l’ensemble des classes d’équivalence, et $[a,b]$ la classe du couple $(a,b)$.

4. On définit $\iota:K\to W$ par

$$\iota(t)=[t,1].$$

(a) Montrer que, si $b\neq0$, la classe $[a,b]$ s’écrit de manière unique sous la forme $\iota(t)$. Déterminer $t$ en fonction de $a$ et $b$.

(b) Montrer que tous les couples $(a,0)$ avec $a\neq0$ appartiennent à une même classe. On la note

$$\infty=[1,0].$$

On pose également

$$\bot=[0,0].$$

Montrer que ces deux classes sont distinctes entre elles et distinctes de toutes les classes $\iota(t)$.

(c) En déduire la décomposition disjointe

$$W=\iota(K)\sqcup\{\infty\}\sqcup\{\bot\}.$$

5. Soit $\mathcal D$ l’ensemble des sous-espaces vectoriels de dimension $1$ de $K^2$. Pour $x=[a,b]\neq\bot$, on pose

$$L(x)=\operatorname{Vect}(a,b).$$

(a) Montrer que $L(x)$ ne dépend pas du représentant $(a,b)$ choisi.

(b) Montrer que $L$ réalise une bijection de $W\setminus\{\bot\}$ sur $\mathcal D$.

(c) Montrer que, pour tout $t\in K$,

$$L(\iota(t))=\operatorname{Vect}(t,1),$$

et que

$$L(\infty)=\operatorname{Vect}(1,0).$$

Expliquer en quel sens $\infty$ complète le paramétrage des droites obtenu avec $t\in K$.

Nous avons obtenu les nombres de $K$, une direction supplémentaire, et un élément singulier. Il reste à savoir si les règles habituelles de calcul des fractions descendent réellement aux classes.

III — Faire du calcul sans choisir de représentant

Pour $x=[a,b]$ et $y=[c,d]$, on propose

$$[a,b]+[c,d]=[ad+bc,bd],$$ $$[a,b]\,[c,d]=[ac,bd],$$

ainsi qu’une opération de réciproque

$$\rho([a,b])=[b,a].$$

On pose enfin

$$0_W=[0,1], \qquad 1_W=[1,1].$$

6. Montrer que l’addition, la multiplication et l’application $\rho$ sont bien définies sur les classes : leur résultat ne dépend pas des représentants choisis.

(a) Montrer que l’addition et la multiplication sont commutatives et que, pour tout $x\in W$,

$$x+0_W=x, \qquad x1_W=x.$$

(b) Montrer que l’addition et la multiplication sont associatives.

(c) Montrer que, pour tous $x,y\in W$,

$$\rho(\rho(x))=x$$

et

$$\rho(xy)=\rho(x)\rho(y).$$

(a) Montrer que $\iota$ est injective et que, pour tous $s,t\in K$,

$$\iota(s+t)=\iota(s)+\iota(t), \qquad \iota(st)=\iota(s)\iota(t),$$

avec

$$\iota(0)=0_W, \qquad \iota(1)=1_W.$$

Dans la suite, on identifiera donc $K$ à son image dans $W$.

(b) Montrer que, pour tout $a\in K^*$,

$$\rho(a)=\frac1a,$$

puis établir

$$\rho(0)=\infty, \qquad \rho(\infty)=0, \qquad \rho(\bot)=\bot.$$

(c) Établir les relations suivantes : pour tout $a\in K$,

$$a+\infty=\infty, \qquad a+\bot=\bot,$$

et

$$\infty+\infty=\bot.$$

Pour tout $a\in K^*$,

$$a\infty=\infty,$$

et l’on a aussi

$$0\infty=\bot, \qquad \infty^2=\infty, \qquad x\bot=\bot\quad\text{pour tout }x\in W.$$

(d) On définit désormais la division sur tout $W$ par

$$\frac{x}{y}=x\rho(y).$$

Calculer

$$\frac10, \qquad \frac00, \qquad \frac1\infty.$$

IV — Ce qui casse, ce qui se répare

(a) Décider si la distributivité usuelle

$$(x+y)z=xz+yz$$

est valable pour tous $x,y,z\in W$. Si ce n’est pas le cas, trouver un contre-exemple explicite.

(b) Montrer qu’en revanche, pour tous $x,y,z\in W$,

$$(x+y)z+0_Wz=xz+yz.$$

10. On définit

$$-x=(-1)x, \qquad x-y=x+(-y).$$

(a) Montrer que, pour tout $x\in W$,

$$x-x=0_Wx^2.$$

Caractériser exactement les $x\in W$ pour lesquels

$$x-x=0_W.$$

(b) Montrer que, pour tout $x\in W$,

$$\frac{x}{x}=1_W+\frac{0_Wx}{x}.$$

Caractériser exactement les $x\in W$ pour lesquels

$$\frac{x}{x}=1_W.$$

11. On appelle partie régulière de $W$ l’ensemble

$$W_{\mathrm{reg}}=\{x\in W\mid 0_Wx=0_W\}.$$

(a) Si $x=[a,b]$, montrer que

$$0_Wx=[0,b].$$

En déduire que

$$W_{\mathrm{reg}}=\iota(K),$$

puis, avec l’identification de la question 8,

$$W_{\mathrm{reg}}=K.$$

(b) Montrer que l’addition, la multiplication et l’opposé restreints à $W_{\mathrm{reg}}$ sont exactement ceux de $K$. Montrer aussi que, pour tout $x\in K^*$,

$$\rho(x)=\frac1x\in K^*, \qquad \frac{x}{x}=1_W,$$

tandis que

$$\rho(0)=\infty\notin W_{\mathrm{reg}}.$$

La structure obtenue est un exemple de wheel : les opérations d’addition, de multiplication et de réciproque y sont partout définies, mais certaines identités familières doivent être remplacées par des identités qui restent valables jusque sur les éléments singuliers.

V — On pouvait choisir autrement

12. Revenons un instant au corps $K$ seul. Pour un paramètre fixé $c\in K$, on définit une application totale $j_c:K\to K$ par

$$j_c(x)= \begin{cases} 1/x & \text{si }x\neq0,\\ c & \text{si }x=0. \end{cases}$$

(a) Montrer que, quel que soit $c$, on a, pour tout $x\in K$,

$$x\,j_c(x)\,x=x.$$

(b) Déterminer les valeurs de $c$ pour lesquelles $j_c$ est une involution, c’est-à-dire pour lesquelles

$$j_c(j_c(x))=x$$

pour tout $x\in K$.

Cette dernière construction montre qu’il n’existe pas une unique manière de rendre le réciproque total. Les wheels, développées notamment par Jesper Carlström, privilégient une extension où apparaissent un infini non signé et un élément singulier. Dans les meadows usuels étudiés par Bergstra, Hirshfeld et Tucker, on choisit au contraire $0^{-1}=0$ sans ajouter de nouvel élément ; les common meadows de Bergstra et Ponse font apparaître un élément d’erreur qui se propage dans les opérations. Ces théories ne cherchent donc pas une valeur indépendante du cadre pour $1/0$ : elles répondent à des exigences algébriques différentes sur les opérations que l’on souhaite rendre totales.