Deux coordonnées, un seul objet

I — Le produit cartésien vu par les applications

1. On définit

$$h:X\to A\times B,\qquad h(x)=(f(x),g(x)).$$

Alors, pour tout $x\in X$, $(\pi_1\circ h)(x)=f(x)$ et $(\pi_2\circ h)(x)=g(x)$. Donc $\pi_1\circ h=f$ et $\pi_2\circ h=g$.

Si $k:X\to A\times B$ vérifie les mêmes égalités, alors pour tout $x\in X$,

$$k(x)=\bigl(\pi_1(k(x)),\pi_2(k(x))\bigr)=(f(x),g(x))=h(x).$$

Ainsi $k=h$. L’application $h$ est unique.

[IDÉE] Dans un produit cartésien, connaître les deux coordonnées d’un élément le détermine entièrement. Toute la suite du problème va reformuler cette évidence sous une forme qui ne dépend plus de l’écriture explicite des couples.

2. La question 1 donne $\Delta(a)=(a,a)$. On a bien, pour tout $a\in A$, $(\pi_1\circ\Delta)(a)=a$ et $(\pi_2\circ\Delta)(a)=a$. Donc les deux projections de $\Delta$ sont égales à $\mathrm{id}_A$.

3. Avec $g:A\to B$, la construction de la question 1 donne $\gamma_g(a)=(a,g(a))$.

Si $\gamma_g(a_1)=\gamma_g(a_2)$, l’égalité des premières coordonnées donne immédiatement $a_1=a_2$. L’application $\gamma_g$ est donc injective, sans aucune hypothèse d’injectivité sur $g$.

Son image est

$$\operatorname{Im}(\gamma_g)=\{(a,g(a))\mid a\in A\},$$

c’est-à-dire le graphe de $g$.

II — Reconnaître un produit sans voir ses couples

4. C’est exactement le résultat de la question 1 : pour tout $X$ et toutes applications $f:X\to A$, $g:X\to B$, il existe une unique application $h:X\to A\times B$ dont les deux projections sont $f$ et $g$.

5. On définit naturellement

$$\Phi:P\to A\times B,\qquad \Phi(z)=(p(z),q(z)).$$

Ainsi $\pi_1\circ\Phi=p$ et $\pi_2\circ\Phi=q$.

La propriété $(U)$ de $(P,p,q)$, appliquée à $X=A\times B$ et aux applications $\pi_1$ et $\pi_2$, fournit une unique application $\Psi:A\times B\to P$ telle que $p\circ\Psi=\pi_1$ et $q\circ\Psi=\pi_2$.

Considérons $\Phi\circ\Psi:A\times B\to A\times B$. Ses deux projections valent

$$\pi_1\circ\Phi\circ\Psi=p\circ\Psi=\pi_1,$$

et

$$\pi_2\circ\Phi\circ\Psi=q\circ\Psi=\pi_2.$$

L’identité $\mathrm{id}_{A\times B}$ vérifie exactement les mêmes deux égalités. Par l’unicité démontrée à la question 1,

$$\Phi\circ\Psi=\mathrm{id}_{A\times B}.$$

De même,

$$p\circ\Psi\circ\Phi=\pi_1\circ\Phi=p,\qquad q\circ\Psi\circ\Phi=\pi_2\circ\Phi=q.$$

L’identité $\mathrm{id}_P$ vérifie également ces deux égalités. Cette fois, l’unicité à utiliser est celle de $(U)$ pour le triplet $(P,p,q)$, avec $X=P$. On obtient

$$\Psi\circ\Phi=\mathrm{id}_P.$$

Ainsi $\Phi$ et $\Psi$ sont réciproques ; $\Phi$ est bijective.

[IDÉE] Le point délicat est de ne pas supposer implicitement que $P$ est déjà un produit cartésien. L’égalité $\Phi\circ\Psi=\mathrm{id}$ utilise l’unicité du produit usuel ; l’égalité $\Psi\circ\Phi=\mathrm{id}$ utilise l’unicité propre au triplet abstrait $(P,p,q)$.

6. La propriété $(U)$ de $(Q,r,s)$, appliquée à $X=P$ et aux applications $p:P\to A$, $q:P\to B$, fournit une unique application $\theta:P\to Q$ telle que $r\circ\theta=p$ et $s\circ\theta=q$.

De même, la propriété $(U)$ de $(P,p,q)$ fournit une unique application $\rho:Q\to P$ telle que $p\circ\rho=r$ et $q\circ\rho=s$.

Alors

$$p\circ\rho\circ\theta=r\circ\theta=p,\qquad q\circ\rho\circ\theta=s\circ\theta=q.$$

L’identité de $P$ vérifie les mêmes égalités. Par unicité, $\rho\circ\theta=\mathrm{id}_P$. De la même manière, $\theta\circ\rho=\mathrm{id}_Q$. Donc $\theta$ est une bijection, de réciproque $\rho$. Son unicité était déjà garantie par la première application de $(U)$.

III — Pourquoi le mot « unique » est indispensable

7. Soient $X$ un ensemble et $f:X\to A$, $g:X\to B$. Définissons

$$h_0(x)=((f(x),g(x)),0).$$

Alors $\widetilde p\circ h_0=f$ et $\widetilde q\circ h_0=g$. Il existe donc au moins une application convenable : $(\widetilde P,\widetilde p,\widetilde q)$ possède $(E)$.

8. Comme $A$ et $B$ sont non vides, choisissons $a_0\in A$ et $b_0\in B$. Prenons un singleton $X=\{\ast\}$ et les applications constantes $f(\ast)=a_0$, $g(\ast)=b_0$.

Les deux applications distinctes

$$h_0(\ast)=((a_0,b_0),0),\qquad h_1(\ast)=((a_0,b_0),1)$$

vérifient toutes deux les contraintes imposées par $\widetilde p$ et $\widetilde q$. L’unicité échoue : le triplet ne possède pas $(U)$.

9. Supposons d’abord $(U)$. Fixons $a\in A$ et $b\in B$. Prenons un singleton $X=\{\ast\}$, avec les applications constantes $f(\ast)=a$ et $g(\ast)=b$. La propriété $(U)$ fournit une unique application $h:X\to P$. L’élément $z=h(\ast)$ est alors l’unique élément de $P$ tel que $p(z)=a$ et $q(z)=b$. Ainsi $(S)$ est vraie.

Réciproquement, supposons $(S)$. Soient $X$, $f:X\to A$ et $g:X\to B$. Pour chaque $x\in X$, il existe un unique $z_x\in P$ tel que $p(z_x)=f(x)$ et $q(z_x)=g(x)$. On peut donc définir $h(x)=z_x$. Alors $p\circ h=f$ et $q\circ h=g$.

Si $k:X\to P$ possède les mêmes deux propriétés, alors pour tout $x$ les éléments $h(x)$ et $k(x)$ ont la même image par $p$ et par $q$. L’unicité dans $(S)$ impose $h(x)=k(x)$, donc $h=k$.

Ainsi

$$(U)\Longleftrightarrow(S).$$

IV — Le produit de deux applications

10. Par définition, $f\times g$ est l’unique application dont les deux coordonnées sont $f\circ\pi_1$ et $g\circ\pi_2$. Pour $(a,b)\in A\times B$,

$$(f\times g)(a,b)=(f(a),g(b)).$$

On en déduit immédiatement $\mathrm{id}_A\times\mathrm{id}_B=\mathrm{id}_{A\times B}$.

Pour la composition, les deux membres envoient $(a,b)$ sur

$$\bigl(f_2(f_1(a)),g_2(g_1(b))\bigr),$$

d’où

$$(f_2\circ f_1)\times(g_2\circ g_1)=(f_2\times g_2)\circ(f_1\times g_1).$$

Si $f$ et $g$ sont injectives et $(f\times g)(a_1,b_1)=(f\times g)(a_2,b_2)$, alors $f(a_1)=f(a_2)$ et $g(b_1)=g(b_2)$, donc $a_1=a_2$ et $b_1=b_2$.

Si $f$ et $g$ sont surjectives, tout $(a',b')\in A'\times B'$ admet des antécédents $a\in A$ et $b\in B$, donc $(a',b')=(f\times g)(a,b)$.

Le cas bijectif découle des deux précédents et

$$(f\times g)^{-1}=f^{-1}\times g^{-1}.$$

V — La construction miroir : réunir sans confondre

11. Les sous-ensembles $A\times\{0\}$ et $B\times\{1\}$ sont disjoints. On peut donc définir sans ambiguïté

$$h(a,0)=f(a),\qquad h(b,1)=g(b).$$

Alors $h\circ i_A=f$ et $h\circ i_B=g$.

Si $k:A\sqcup B\to X$ vérifie les mêmes égalités, ses valeurs sont imposées sur tous les éléments de $A\times\{0\}$ et de $B\times\{1\}$. Ces deux sous-ensembles forment tout $A\sqcup B$, donc $k=h$. L’application est unique.

12. La propriété $(U^\vee)$ de $(C,i,j)$, appliquée avec le but $X=D$ et les applications $i':A\to D$, $j':B\to D$, fournit une unique application $\eta:C\to D$ telle que $\eta\circ i=i'$ et $\eta\circ j=j'$.

De même, la propriété de $(D,i',j')$ fournit une unique application $\mu:D\to C$ telle que $\mu\circ i'=i$ et $\mu\circ j'=j$.

Alors $(\mu\circ\eta)\circ i=i$ et $(\mu\circ\eta)\circ j=j$. L’identité $\mathrm{id}_C$ vérifie les mêmes relations. Par unicité, $\mu\circ\eta=\mathrm{id}_C$. De même, $\eta\circ\mu=\mathrm{id}_D$.

Ainsi $\eta$ est bijective, de réciproque $\mu$, et elle est unique par construction.

13. Pour $(U)$, on part de deux applications ayant le même domaine, $X\to A$ et $X\to B$, et on les rassemble en une unique application $X\to P$.

Pour $(U^\vee)$, on part de deux applications ayant le même codomaine, $A\to X$ et $B\to X$, et on les rassemble en une unique application $C\to X$.

La propriété universelle ne cherche donc pas à dire de quoi un objet est « fait », mais ce qu’il permet de faire de manière unique avec les applications qui l’entourent. Dans le monde des ensembles, le produit cartésien et l’union disjointe sont deux modèles élémentaires de cette idée. Cette manière de décrire des constructions par les relations qu’elles entretiennent avec les autres objets joue un rôle central en théorie des catégories, un domaine qui cherche notamment à reconnaître des schémas communs à des structures mathématiques très différentes.

Sources

[SOURCE] Tom Leinster, Basic Category Theory, Cambridge University Press. Lien direct