Devoirs maison de maths en MPSI

Propriété universelle du produit cartésien

Reconnaître un produit cartésien par ses projections, prouver son unicité à bijection compatible près, comprendre pourquoi l’existence seule ne suffit pas, puis construire les applications produits et la propriété miroir de l’union disjointe.

Approcher π par polygones, intégrales et probabilités

Construire trois procédures pour approcher π et quantifier leur erreur : polygones emboîtés, intégrale transformée en sommes rapidement convergentes, puis estimation de Monte-Carlo avec un risque contrôlé par Bienaymé-Tchebychev.

Pourquoi les translations font-elles apparaître les fréquences ?

À partir des rotations du polygone formé par les racines n-ièmes de l’unité, les fonctions z↦z^k apparaissent comme comportements élémentaires sous translation ; elles conduisent à la transformée de Fourier discrète, à sa formule d’inversion, à l’identité de Parseval puis à un principe d’incertitude sur les supports avec des cas d’égalité explicites.