L'oscillateur vu de quatre façons

Le problème compare quatre représentations d'une même équation différentielle : expression explicite, invariant quadratique, coordonnée complexe puis systèmes récurrents. Les trois premières descriptions sont exactes ; la dernière permet de comparer une restriction exacte à deux discrétisations.

I — Résoudre et paramétrer les solutions

1.

L'équation caractéristique associée à

$$x''+\omega^2x=0$$

est $r^2+\omega^2=0$. Les solutions réelles sont donc

$$x(t)=C\cos(\omega t)+D\sin(\omega t).$$

Les conditions initiales donnent

$$C=x_0, \qquad D=\frac{v_0}{\omega},$$

d'où

$$\boxed{x(t)=x_0\cos(\omega t)+\frac{v_0}{\omega}\sin(\omega t).}$$

Posons

$$A=\sqrt{x_0^2+\frac{v_0^2}{\omega^2}}.$$

Si $A=0$, alors $x_0=v_0=0$ et $x$ est identiquement nulle.

Supposons $A>0$. Il existe un réel $\varphi$, unique modulo $2\pi$, tel que

$$\cos\varphi=\frac{x_0}{A}, \qquad \sin\varphi=\frac{v_0}{\omega A}.$$

Ainsi

$$\boxed{x(t)=A\cos(\omega t-\varphi).}$$

Puis

$$x'(t)=-A\omega\sin(\omega t-\varphi),$$

donc

$$\boxed{x(\mathbb R)=[-A,A]}, \qquad \boxed{\max_{t\in\mathbb R}|x'(t)|=\omega A},$$

et la plus petite période strictement positive est

$$\boxed{T=\frac{2\pi}{\omega}}.$$

Pour la solution nulle, l'image est $\{0\}$ et toute valeur strictement positive est une période ; il n'existe donc pas de plus petite période strictement positive.

II — Invariant quadratique et courbe de niveau

2.

On a

$$I_{\alpha,\beta}(t)=\alpha x'(t)^2+\beta x(t)^2.$$

Sa dérivée vaut, puisque $x''=-\omega^2x$,

$$\begin{aligned} I_{\alpha,\beta}'(t) &=2\alpha x'(t)x''(t)+2\beta x(t)x'(t)\\ &=2(\beta-\alpha\omega^2)x(t)x'(t). \end{aligned}$$

Si $\beta=\alpha\omega^2$, cette expression est nulle pour toute solution.

Réciproquement, supposons $I_{\alpha,\beta}$ constant pour toute solution. On choisit des conditions initiales telles que $x_0v_0\neq0$. Alors

$$0=I_{\alpha,\beta}'(0) =2(\beta-\alpha\omega^2)x_0v_0,$$

d'où

$$\beta=\alpha\omega^2.$$

Les couples cherchés sont donc

$$\boxed{(\alpha,\beta)=(\alpha,\alpha\omega^2),\qquad \alpha\in\mathbb R.}$$

Pour $\alpha=1$, on obtient l'invariant

$$\boxed{H(t)=x'(t)^2+\omega^2x(t)^2}$$

et

$$\boxed{H(t)=v_0^2+\omega^2x_0^2=\omega^2A^2.}$$

3.

Avec $y=x'/\omega$, l'égalité précédente devient

$$x^2+y^2=A^2.$$

D'autre part,

$$\boxed{ \begin{cases} x'=\omega y,\\ y'=-\omega x. \end{cases}}$$

Ainsi, pour $U=(x,y)^\top$,

$$\|U(t)\|=A$$

et

$$\|U'(t)\| =\omega\sqrt{x(t)^2+y(t)^2} =\boxed{\omega A}.$$

De plus,

$$\det(U(t),U'(t)) =xy'-yx' =-\omega(x^2+y^2) =-\omega A^2<0.$$

Le paramétrage est donc orienté dans le sens horaire.

Pour déterminer l'image et la période sans reprendre la formule explicite de la question 1, posons

$$J= \begin{pmatrix} 0&-1\\ 1&0 \end{pmatrix}, \qquad R(t)= \begin{pmatrix} \cos(\omega t)&-\sin(\omega t)\\ \sin(\omega t)&\cos(\omega t) \end{pmatrix}.$$

Le système précédent s'écrit

$$U'=-\omega JU.$$

Comme $R'(t)=\omega JR(t)$ et que $J$ commute avec $R(t)$,

$$\begin{aligned} \frac{d}{dt}\bigl(R(t)U(t)\bigr) &=R'(t)U(t)+R(t)U'(t)\\ &=\omega JR(t)U(t)-\omega R(t)JU(t)\\ &=0. \end{aligned}$$

Par conséquent,

$$R(t)U(t)=U(0),$$

puis

$$\boxed{U(t)=R(-t)U(0).}$$

La notation $R(-t)$ désigne ici la rotation d'angle $-\omega t$. Lorsque $t$ parcourt $\mathbb R$, cet angle parcourt toutes les valeurs réelles. Pour $A>0$, l'image est donc le cercle entier :

$$\boxed{U(\mathbb R)=\{(X,Y)\in\mathbb R^2\,;\ X^2+Y^2=A^2\}.}$$

Une rotation fixe le vecteur non nul $U(0)$ exactement lorsque son angle est un multiple de $2\pi$. La plus petite période strictement positive de $U$ est donc

$$\boxed{T=\frac{2\pi}{\omega}}.$$

Dans les coordonnées $(x,x')$, l'image est l'ellipse

$$\boxed{ \frac{x^2}{A^2}+ \frac{x'^2}{\omega^2A^2}=1.}$$

Le changement $y=x'/\omega$ transforme cette ellipse en cercle en normalisant les deux coordonnées.

III — Coordonnée complexe et rotation

4.

Pour

$$z_c=x+icx',$$

on a

$$z_c'=x'-ic\omega^2x.$$

L'identité $z_c'=\lambda z_c$ doit être valable indépendamment des valeurs de $x$ et $x'$ à l'instant considéré. L'identification des coefficients donne

$$\lambda=-ic\omega^2, \qquad ic\lambda=1.$$

La seconde relation donne $\lambda=-i/c$. En la combinant avec la première,

$$c^2\omega^2=1.$$

Ainsi

$$\boxed{ (c,\lambda)= \left(\frac1\omega,-i\omega\right) \quad\text{ou}\quad \left(-\frac1\omega,i\omega\right).}$$

5.

Avec

$$z=x+i\frac{x'}{\omega},$$

on a

$$z'=-i\omega z.$$

Donc

$$\frac d{dt}\bigl(e^{i\omega t}z(t)\bigr)=0,$$

et

$$\boxed{z(t)=z(0)e^{-i\omega t}.}$$

Or

$$z(0)=x_0+i\frac{v_0}{\omega}=Ae^{i\varphi},$$

d'où

$$\boxed{z(t)=Ae^{i(\varphi-\omega t)}.}$$

Cette formule donne simultanément

$$|z|=A,$$

l'argument initial $\varphi$, l'orientation horaire, la période $2\pi/\omega$ et

$$H=\omega^2|z|^2=\omega^2A^2.$$

6.

(a) Comme $a=\omega h$,

$$Z_{n+1}^{\mathrm{ex}} =z((n+1)h) =e^{-ia}z(nh),$$

donc

$$\boxed{Z_{n+1}^{\mathrm{ex}}=e^{-ia}Z_n^{\mathrm{ex}}.}$$

Dans les coordonnées réelles,

$$\boxed{ \begin{pmatrix} X_{n+1}^{\mathrm{ex}}\\ Y_{n+1}^{\mathrm{ex}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos a&\sin a\\ -\sin a&\cos a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} X_n^{\mathrm{ex}}\\ Y_n^{\mathrm{ex}} \end{pmatrix}.}$$

(b) On dispose des deux relations

$$Z_{n+1}^{\mathrm{ex}}=e^{-ia}Z_n^{\mathrm{ex}}, \qquad Z_{n-1}^{\mathrm{ex}}=e^{ia}Z_n^{\mathrm{ex}}.$$

En les additionnant puis en prenant les parties réelles,

$$\boxed{ X_{n+1}^{\mathrm{ex}} =2\cos(a)X_n^{\mathrm{ex}}-X_{n-1}^{\mathrm{ex}} \qquad(n\ge1).}$$

Cette démonstration ne divise pas par $\sin a$ ; la relation reste valable pour toute valeur de $a$.

(c) Si $Z_0^{\mathrm{ex}}\neq0$, alors

$$Z_{n+q}^{\mathrm{ex}}=Z_n^{\mathrm{ex}}$$

pour tout $n$ si et seulement si

$$e^{-iaq}=1,$$

soit

$$aq\in2\pi\mathbb Z.$$

La suite est donc périodique exactement lorsque

$$\boxed{\frac{a}{2\pi}\in\mathbb Q.}$$

Si $a/(2\pi)=p/q$ est irréductible, alors $q$ est une période. Si $1\le k<q$ en était une autre, on aurait $pk/q\in\mathbb Z$, donc $q\mid k$, contradiction. La plus petite période en nombre de pas est donc

$$\boxed{q.}$$

IV — Systèmes discrets : invariants et stabilité

7.

On calcule

$$\begin{aligned} R_{n+1}^2 &=(X_n^{\mathrm E}+aY_n^{\mathrm E})^2 +(Y_n^{\mathrm E}-aX_n^{\mathrm E})^2\\ &=(1+a^2)R_n^2. \end{aligned}$$

Ainsi

$$\boxed{R_n^2=(1+a^2)^nR_0^2.}$$

Comme $a>0$, toute donnée initiale non nulle vérifie

$$R_n\longrightarrow+\infty.$$

Ce système discret ne conserve donc pas la norme associée à l'invariant continu $H$ ; il l'amplifie géométriquement.

8.

Le système $(S)$ s'écrit

$$Y_{n+1}=Y_n-aX_n$$

et

$$X_{n+1}=X_n+a(Y_n-aX_n) =(1-a^2)X_n+aY_n.$$

Ainsi

$$\boxed{ S_a= \begin{pmatrix} 1-a^2&a\\ -a&1 \end{pmatrix}}$$

et

$$\boxed{\det S_a=1.}$$

De

$$X_n=(1-a^2)X_{n-1}+aY_{n-1}$$

et

$$Y_n=Y_{n-1}-aX_{n-1},$$

on tire

$$aY_n=X_n-X_{n-1}.$$

En reportant dans l'expression de $X_{n+1}$,

$$X_{n+1} =(1-a^2)X_n+X_n-X_{n-1},$$

d'où

$$\boxed{X_{n+1}=(2-a^2)X_n-X_{n-1}.}$$

9.

Posons

$$q(X,Y)=\alpha X^2+\beta XY+\gamma Y^2.$$

L'invariance pour toutes les données initiales signifie

$$q(S_a(X,Y))=q(X,Y)$$

comme identité polynomiale en $X$ et $Y$. Or

$$S_a(X,Y)=((1-a^2)X+aY,-aX+Y).$$

En développant et en identifiant les coefficients, on obtient, puisque $a>0$,

$$\gamma=\alpha, \qquad \beta=-a\alpha.$$

Réciproquement, ces relations rendent bien la forme invariante. Les triplets cherchés sont donc

$$\boxed{(\alpha,\beta,\gamma)=\alpha(1,-a,1),\qquad \alpha\in\mathbb R.}$$

On choisit la normalisation

$$\boxed{Q_a(X,Y)=X^2-aXY+Y^2.}$$

Elle se réécrit

$$Q_a(X,Y) =\left(X-\frac a2Y\right)^2+\left(1-\frac{a^2}{4}\right)Y^2.$$

Pour $0<a<2$, $Q_a$ est définie positive. Il existe alors des constantes $m_a,M_a>0$ telles que

$$m_a(X^2+Y^2) \le Q_a(X,Y) \le M_a(X^2+Y^2),$$

et la conservation de $Q_a$ impose la bornitude de tous les itérés. Les courbes

$$Q_a(X,Y)=c, \qquad c>0,$$

sont des ellipses centrées en l'origine.

Pour $a=2$,

$$Q_2(X,Y)=(X-Y)^2,$$

qui ne contrôle pas la norme euclidienne. Pour $a>2$, la forme est indéfinie. Ainsi la conservation de $Q_a$ contrôle la norme de tous les itérés exactement pour

$$\boxed{0<a<2.}$$

10.

La récurrence est

$$X_{n+1}-(2-a^2)X_n+X_{n-1}=0.$$

Son polynôme caractéristique est

$$P_a(r)=r^2-(2-a^2)r+1.$$

Son discriminant vaut

$$\Delta_a=(2-a^2)^2-4=a^2(a^2-4).$$

Si $0<a<2$, les deux racines sont complexes conjuguées, leur produit vaut $1$, donc leur module vaut $1$. Elles sont distinctes ; toutes les suites $(X_n)$ sont bornées. Comme

$$Y_n=\frac{X_{n+1}-(1-a^2)X_n}{a},$$

les suites $(Y_n)$ le sont aussi.

Si $a=2$, on a

$$P_2(r)=(r+1)^2.$$

La récurrence admet des solutions de la forme

$$X_n=(A+Bn)(-1)^n.$$

Des données initiales avec $B\neq0$ donnent donc une suite non bornée.

Si $a>2$, les deux racines sont réelles distinctes et de produit $1$. Leur somme vaut $2-a^2<-2$ ; l'une des deux a donc un module strictement supérieur à $1$. Il existe des données initiales pour lesquelles $(X_n)$, puis $(X_n,Y_n)$, n'est pas bornée.

Comme $a>0$, les valeurs $X_0$ et $X_1$ peuvent être choisies arbitrairement en choisissant convenablement $Y_0$ ; aucune solution de la récurrence pertinente n'est exclue.

Ainsi

$$\boxed{\text{toutes les suites de }(S)\text{ sont bornées}\iff0<a<2.}$$

On retrouve exactement la condition issue de $Q_a$. En revanche,

$$\det S_a=1$$

pour tout $a>0$, y compris dans les régimes non bornés. La conservation du déterminant ne suffit donc pas à assurer la stabilité des itérés.

11.

Pour $0<a<2$, les racines de $P_a$ ont module $1$ et ne sont pas réelles. Il existe donc un unique $\theta\in(0,\pi)$ tel qu'elles soient $e^{i\theta}$ et $e^{-i\theta}$. Leur somme donne

$$2\cos\theta=2-a^2,$$

soit

$$\boxed{\cos\theta=1-\frac{a^2}{2}.}$$

Comme

$$1-\frac{a^2}{2}=1-2\sin^2\left(\frac\theta2\right),$$

et $0<\theta/2<\pi/2$, on obtient

$$\boxed{\theta=2\arcsin\left(\frac a2\right).}$$

La forme générale est donc

$$\boxed{X_n=A\cos(n\theta)+B\sin(n\theta).}$$

Pour $u\in(0,1)$, on a $\arcsin u>u$. Ainsi

$$\theta=2\arcsin(a/2)>a.$$

Comme $a=\omega h$,

$$\frac{\omega_h}{\omega} =\frac{\theta/h}{a/h} =\frac\theta a>1.$$

Pour obtenir le développement nécessaire sans supposer connu celui de $\arcsin$, posons $f(u)=\arcsin u$ au voisinage de $0$. On a

$$f'(u)=\frac1{\sqrt{1-u^2}}, \qquad f''(u)=\frac{u}{(1-u^2)^{3/2}},$$

et

$$f'''(u)=\frac{1+2u^2}{(1-u^2)^{5/2}}.$$

Ainsi

$$f(0)=0,\qquad f'(0)=1,\qquad f''(0)=0,\qquad f'''(0)=1.$$

La formule de Taylor-Young à l'ordre $3$ donne donc

$$\arcsin u=u+\frac{u^3}{6}+o(u^3).$$

Avec $u=a/2$,

$$\theta =2\left(\frac a2+\frac1{6}\frac{a^3}{8}+o(a^3)\right) =a+\frac{a^3}{24}+o(a^3).$$

Par conséquent

$$\boxed{ \frac{\omega_h}{\omega} =1+\frac{a^2}{24}+o(a^2).}$$

D'autre part,

$$\cos a =1-\frac{a^2}{2}+\frac{a^4}{24}+o(a^4),$$

donc

$$\boxed{2\cos a=2-a^2+\frac{a^4}{12}+o(a^4).}$$

La récurrence exacte est

$$X_{n+1}^{\mathrm{ex}} =2\cos(a)X_n^{\mathrm{ex}}-X_{n-1}^{\mathrm{ex}},$$

alors que $(S)$ donne

$$X_{n+1}=(2-a^2)X_n-X_{n-1}.$$

Leurs coefficients commencent donc à différer à l'ordre $a^4$ :

$$2\cos a-(2-a^2) =\frac{a^4}{12}+o(a^4).$$

Cette petite erreur locale sur le coefficient modifie l'angle par pas de $a$ à

$$\theta=a+\frac{a^3}{24}+o(a^3),$$

ce qui produit une erreur relative d'ordre $a^2$ sur la quantité $\omega_h/\omega$.

V — Synthèse des représentations

12.

La première représentation est la solution réelle $x(t)$ elle-même :

$$x(t)=A\cos(\omega t-\varphi).$$

Elle rend immédiatement accessibles les valeurs de la solution, son image, son amplitude et sa période.

La deuxième représentation utilise le vecteur

$$U(t)=\left(x(t),\frac{x'(t)}{\omega}\right).$$

L'invariant $H$ devient la conservation de $\|U(t)\|^2$ ; les solutions non constantes sont des paramétrages uniformes de cercles. Dans les coordonnées $(x,x')$, ces mêmes courbes sont des ellipses.

La troisième représentation identifie $U$ au nombre complexe

$$z=x+i\frac{x'}{\omega}.$$

Toute l'évolution se réduit alors à une multiplication :

$$z(t)=z(0)e^{-i\omega t}.$$

La restriction exacte aux instants $nh$ devient la rotation discrète

$$Z_{n+1}^{\mathrm{ex}}=e^{-ia}Z_n^{\mathrm{ex}}.$$

Enfin, la quatrième représentation remplace cette restriction exacte par des systèmes récurrents. Le premier fait croître la norme par le facteur $1+a^2$ à chaque étape. Le second conserve la forme quadratique

$$Q_a(X,Y)=X^2-aXY+Y^2$$

et possède des itérés tous bornés exactement lorsque $0<a<2$. Dans ce domaine, il remplace l'angle exact $a$ par

$$\theta=2\arcsin(a/2),$$

ce qui préserve qualitativement une rotation bornée mais déforme sa phase.

Les quatre descriptions ne sont donc pas quatre problèmes différents : elles montrent comment un changement de représentation peut transformer une même relation en formule explicite, conservation géométrique, multiplication complexe ou récurrence.

Sources

[SOURCE] Hairer, Lubich et Wanner — Geometric Numerical Integration. Lien direct