L'oscillateur vu de quatre façons

Le même oscillateur est décrit successivement par une formule temporelle, une courbe d'énergie, une rotation complexe puis un système discret. Les trois premières descriptions sont exactes et se traduisent les unes dans les autres ; la dernière permet de voir ce qu'une approximation peut conserver, déformer ou détruire.

I — Première façon : connaître exactement le mouvement

1.

L'équation caractéristique associée à

$$x''+\omega^2x=0$$

est $r^2+\omega^2=0$. Les solutions réelles sont donc

$$x(t)=C\cos(\omega t)+D\sin(\omega t).$$

Les conditions initiales donnent

$$C=x_0, \qquad D=\frac{v_0}{\omega},$$

d'où

$$\boxed{x(t)=x_0\cos(\omega t)+\frac{v_0}{\omega}\sin(\omega t).}$$

Posons

$$A=\sqrt{x_0^2+\frac{v_0^2}{\omega^2}}.$$

Si $A=0$, alors $x_0=v_0=0$ et $x$ est identiquement nulle : c'est l'équilibre.

Supposons désormais $A>0$. On a

$$\left(\frac{x_0}{A}\right)^2+ \left(\frac{v_0}{\omega A}\right)^2=1.$$

Il existe donc un réel $\varphi$, unique modulo $2\pi$, tel que

$$\cos\varphi=\frac{x_0}{A}, \qquad \sin\varphi=\frac{v_0}{\omega A}.$$

Alors

$$\boxed{x(t)=A\cos(\omega t-\varphi).}$$

On en déduit

$$x'(t)=-A\omega\sin(\omega t-\varphi).$$

Ainsi

$$\boxed{x(\mathbb R)=[-A,A]}, \qquad \boxed{\max_{t\in\mathbb R}|x'(t)|=\omega A}.$$

Comme $A>0$, la plus petite période strictement positive est obtenue lorsque l'argument du cosinus augmente de $2\pi$ :

$$\boxed{T=\frac{2\pi}{\omega}.}$$

Dans le cas d'équilibre, l'image est $\{0\}$ et $|x'|=0$. Tout réel strictement positif est alors une période, de sorte qu'il n'existe pas de plus petite période strictement positive.

II — Deuxième façon : découvrir ce qui ne change pas

2.

On dérive

$$I_{\alpha,\beta}(t)=\alpha x'(t)^2+\beta x(t)^2.$$

En utilisant $x''=-\omega^2x$,

$$\begin{aligned} I_{\alpha,\beta}'(t) &=2\alpha x'(t)x''(t)+2\beta x(t)x'(t)\\ &=2(\beta-\alpha\omega^2)x(t)x'(t). \end{aligned}$$

Si $\beta=\alpha\omega^2$, cette dérivée est nulle pour toute solution.

Réciproquement, si $I_{\alpha,\beta}$ est constante pour toute solution, on peut choisir des conditions initiales telles que $x_0v_0\neq0$. À $t=0$,

$$0=I_{\alpha,\beta}'(0) =2(\beta-\alpha\omega^2)x_0v_0,$$

donc nécessairement $\beta=\alpha\omega^2$.

Les invariants cherchés sont donc exactement les multiples de

$$x'(t)^2+\omega^2x(t)^2.$$

La normalisation usuelle consiste à poser

$$\boxed{E(t)=\frac12\bigl(x'(t)^2+\omega^2x(t)^2\bigr).}$$

Sa valeur est

$$\boxed{E(t)=E(0)=\frac12\bigl(v_0^2+\omega^2x_0^2\bigr).}$$

Avec le nombre $A$ de la question 1,

$$E=\frac{\omega^2A^2}{2}.$$

3.

On pose $y=x'/\omega$. L'invariant précédent devient

$$x^2+y^2=A^2.$$

Ainsi, lorsque $A>0$, la trajectoire de

$$U(t)=\begin{pmatrix}x(t)\\y(t)\end{pmatrix}$$

est contenue dans le cercle de centre $O$ et de rayon $A$.

Par définition de $y$ et grâce à l'équation différentielle,

$$\boxed{ \begin{cases} x'=\omega y,\\ y'=-\omega x. \end{cases}}$$

On obtient

$$U\cdot U'=xx'+yy' =x(\omega y)+y(-\omega x)=0.$$

Le vecteur vitesse est donc tangent au cercle. De plus,

$$\|U'(t)\| =\omega\sqrt{x(t)^2+y(t)^2} =\omega A,$$

qui est constant et non nul.

Pour déterminer l'orientation sans utiliser la solution explicite, calculons le déterminant des deux vecteurs :

$$\det(U,U') =xy'-yx' =-\omega(x^2+y^2) =-\omega A^2<0.$$

Le mouvement est donc partout orienté dans le sens horaire. Sur un cercle de rayon $A$, une vitesse tangentielle constante égale à $\omega A$ correspond à une vitesse angulaire de module $\omega$ ; toute la circonférence est parcourue uniformément.

La longueur d'un tour est $2\pi A$, donc le temps nécessaire pour effectuer un tour vaut

$$\frac{2\pi A}{\omega A} =\boxed{\frac{2\pi}{\omega}}.$$

On retrouve la période sans utiliser la formule trigonométrique de la partie I.

Dans les coordonnées $(x,x')$, l'invariant s'écrit

$$x^2+\frac{x'^2}{\omega^2}=A^2,$$

soit, pour $A>0$,

$$\boxed{ \frac{x^2}{A^2}+ \frac{x'^2}{\omega^2A^2}=1.}$$

La trajectoire est une ellipse. Le changement $y=x'/\omega$ normalise précisément cette ellipse en un cercle : il met les deux coordonnées à la même échelle géométrique.

III — Troisième façon : trouver la bonne coordonnée complexe

4.

Pour $c\in\mathbb R^*$,

$$z_c=x+icx'.$$

On a

$$z_c'=x'+icx''=x'-ic\omega^2x.$$

Supposons qu'il existe $\lambda\in\mathbb C$ tel que, pour toute solution,

$$z_c'=\lambda z_c.$$

Comme les valeurs de $x$ et $x'$ à un instant peuvent être choisies arbitrairement par les conditions initiales, on identifie les coefficients de $x$ et de $x'$ :

$$\lambda=-ic\omega^2, \qquad i c\lambda=1.$$

La seconde égalité donne $\lambda=-i/c$. En comparant avec la première,

$$c\omega^2=\frac1c,$$

donc

$$c^2\omega^2=1.$$

Puisque $\omega>0$,

$$\boxed{c=\frac1\omega\quad\text{ou}\quad c=-\frac1\omega.}$$

Les valeurs correspondantes de $\lambda$ sont

$$\boxed{ (c,\lambda)= \left(\frac1\omega,-i\omega\right) \quad\text{ou}\quad \left(-\frac1\omega,i\omega\right).}$$

Le choix $c=1/\omega$ correspond à l'orientation horaire déjà observée.

5.

Avec

$$z=x+i\frac{x'}{\omega},$$

on a

$$z'=-i\omega z.$$

La dérivée de $e^{i\omega t}z(t)$ est nulle :

$$\frac d{dt}\bigl(e^{i\omega t}z(t)\bigr) =i\omega e^{i\omega t}z(t)+e^{i\omega t}z'(t)=0.$$

Par conséquent,

$$\boxed{z(t)=z(0)e^{-i\omega t}.}$$

Or

$$z(0)=x_0+i\frac{v_0}{\omega}.$$

Dans le cas non constant, les relations de la question 1 donnent

$$z(0)=A(\cos\varphi+i\sin\varphi)=Ae^{i\varphi}.$$

Ainsi

$$\boxed{z(t)=Ae^{i(\varphi-\omega t)}.}$$

Cette seule formule contient les descriptions précédentes :

• $|z(t)|=A$, donc $x^2+(x'/\omega)^2=A^2$ et l'invariant est conservé ;
• l'argument vaut $\varphi-\omega t$, ce qui code la phase ;
• l'argument décroît à vitesse $\omega$, donc le mouvement est horaire ;
• un tour correspond à une variation d'argument de $2\pi$, d'où $T=2\pi/\omega$.

6.

(a) Comme $a=\omega h$,

$$\begin{aligned} Z_{n+1}^{\mathrm{ex}} &=z((n+1)h)\\ &=z(nh)e^{-i\omega h}\\ &=e^{-ia}Z_n^{\mathrm{ex}}. \end{aligned}$$

Donc

$$\boxed{Z_{n+1}^{\mathrm{ex}}=e^{-ia}Z_n^{\mathrm{ex}}.}$$

En prenant parties réelle et imaginaire,

$$\boxed{ \begin{pmatrix} X_{n+1}^{\mathrm{ex}}\\ Y_{n+1}^{\mathrm{ex}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos a&\sin a\\ -\sin a&\cos a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} X_n^{\mathrm{ex}}\\ Y_n^{\mathrm{ex}} \end{pmatrix}.}$$

Il s'agit exactement d'une rotation d'angle $-a$.

(b) De la relation complexe,

$$Z_{n+1}^{\mathrm{ex}}=e^{-ia}Z_n^{\mathrm{ex}} \quad\text{et}\quad Z_{n-1}^{\mathrm{ex}}=e^{ia}Z_n^{\mathrm{ex}}.$$

En additionnant,

$$Z_{n+1}^{\mathrm{ex}}+Z_{n-1}^{\mathrm{ex}} =2\cos(a)Z_n^{\mathrm{ex}}.$$

En prenant les parties réelles, on obtient, pour $n\ge1$,

$$\boxed{ X_{n+1}^{\mathrm{ex}} =2\cos(a)X_n^{\mathrm{ex}}-X_{n-1}^{\mathrm{ex}}.}$$

Aucune division par $\sin a$ n'a été utilisée : la formule est valable pour tout réel $a$.

(c) Supposons $Z_0^{\mathrm{ex}}\neq0$. La suite est périodique s'il existe $q\ge1$ tel que

$$Z_{n+q}^{\mathrm{ex}}=Z_n^{\mathrm{ex}}$$

pour tout $n$. Or

$$Z_{n+q}^{\mathrm{ex}} =e^{-iaq}Z_n^{\mathrm{ex}}.$$

Comme $Z_n^{\mathrm{ex}}\neq0$ pour tout $n$, cela équivaut à

$$e^{-iaq}=1,$$

c'est-à-dire

$$aq\in2\pi\mathbb Z.$$

Ainsi la suite échantillonnée est périodique si et seulement si

$$\boxed{\frac{a}{2\pi}\in\mathbb Q.}$$

Si

$$\frac{a}{2\pi}=\frac pq$$

est irréductible avec $q\ge1$, alors $e^{-iaq}=e^{-2\pi ip}=1$. Si un entier $1\le k<q$ était aussi une période, on aurait $pk/q\in\mathbb Z$, donc $q\mid k$ puisque $p$ et $q$ sont premiers entre eux, contradiction. La plus petite période en nombre de pas est donc

$$\boxed{q.}$$

Cette propriété illustre un phénomène propre à l'observation discrète : un mouvement continu périodique peut donner une suite échantillonnée non périodique si le pas n'est pas commensurable avec la période.

IV — Quatrième façon : discrétiser et tester la fidélité du modèle

7.

Le schéma d'Euler explicite est

$$\begin{cases} X_{n+1}^{\mathrm E}=X_n^{\mathrm E}+aY_n^{\mathrm E},\\ Y_{n+1}^{\mathrm E}=Y_n^{\mathrm E}-aX_n^{\mathrm E}. \end{cases}$$

On calcule

$$\begin{aligned} R_{n+1}^2 &=(X_n^{\mathrm E}+aY_n^{\mathrm E})^2 +(Y_n^{\mathrm E}-aX_n^{\mathrm E})^2\\ &=(1+a^2)\bigl((X_n^{\mathrm E})^2+(Y_n^{\mathrm E})^2\bigr). \end{aligned}$$

Ainsi

$$\boxed{R_{n+1}^2=(1+a^2)R_n^2}$$

et, par récurrence,

$$\boxed{R_n^2=(1+a^2)^nR_0^2.}$$

Comme $a>0$, on a $1+a^2>1$. Pour toute donnée initiale non nulle,

$$R_n\longrightarrow+\infty.$$

L'oscillateur continu conserve exactement $x^2+y^2$ ; Euler explicite crée au contraire une croissance géométrique de cette quantité. Même pour un petit pas fixé, l'erreur qualitative devient donc majeure à long terme.

8.

Le schéma $(S)$ donne d'abord

$$Y_{n+1}=-aX_n+Y_n.$$

Puis

$$X_{n+1} =X_n+aY_{n+1} =(1-a^2)X_n+aY_n.$$

Ainsi

$$\boxed{ S_a= \begin{pmatrix} 1-a^2&a\\ -a&1 \end{pmatrix}.}$$

Son déterminant vaut

$$\boxed{\det S_a=(1-a^2)+a^2=1.}$$

À l'étape précédente,

$$X_n=X_{n-1}+aY_n,$$

donc

$$aY_n=X_n-X_{n-1}.$$

En remplaçant dans l'expression de $X_{n+1}$,

$$\begin{aligned} X_{n+1} &=(1-a^2)X_n+X_n-X_{n-1}\\ &=(2-a^2)X_n-X_{n-1}. \end{aligned}$$

On obtient

$$\boxed{X_{n+1}=(2-a^2)X_n-X_{n-1}.} \tag{R}$$

9.

Posons

$$F(X,Y)=\alpha X^2+\beta XY+\gamma Y^2.$$

Sous l'action de $(S)$,

$$X'=(1-a^2)X+aY, \qquad Y'=-aX+Y.$$

On veut l'identité polynomiale

$$F(X',Y')=F(X,Y)$$

pour tous $X,Y$.

Le coefficient de $Y^2$ dans $F(X',Y')-F(X,Y)$ vaut

$$a(\alpha a+\beta).$$

Comme $a>0$, il doit être nul, donc

$$\beta=-a\alpha.$$

Le coefficient de $XY$ vaut

$$2a\bigl(\alpha(1-a^2)-a\beta-\gamma\bigr).$$

En utilisant $\beta=-a\alpha$, il devient

$$2a(\alpha-\gamma),$$

donc

$$\gamma=\alpha.$$

Le coefficient de $X^2$ s'annule alors automatiquement. Les triplets cherchés sont donc exactement

$$\boxed{(\alpha,\beta,\gamma)=\alpha(1,-a,1),\qquad \alpha\in\mathbb R.}$$

En prenant $\alpha=1$, on obtient l'invariant

$$\boxed{Q_a(X,Y)=X^2+Y^2-aXY.}$$

Pour $0<a<2$, l'inégalité $2|XY|\le X^2+Y^2$ donne

$$Q_a(X,Y) \ge\left(1-\frac a2\right)(X^2+Y^2).$$

Le coefficient $1-a/2$ est strictement positif. Comme $Q_a(X_n,Y_n)$ est constant,

$$X_n^2+Y_n^2 \le \frac{Q_a(X_0,Y_0)}{1-a/2}.$$

Toutes les trajectoires sont donc bornées.

Pour voir la géométrie, posons

$$u=\frac{X+Y}{\sqrt2}, \qquad v=\frac{X-Y}{\sqrt2}.$$

Alors

$$Q_a =\left(1-\frac a2\right)u^2 +\left(1+\frac a2\right)v^2.$$

Lorsque $0<a<2$, les deux coefficients sont strictement positifs : les niveaux $Q_a=c>0$ sont des ellipses centrées en l'origine.

À $a=2$,

$$Q_2(X,Y)=(X-Y)^2,$$

qui ne contrôle plus $X^2+Y^2$. Pour $a>2$, $Q_a$ prend des valeurs positives et négatives : par exemple

$$Q_a(1,1)=2-a<0.$$

Ainsi la conservation de cet invariant fournit à elle seule un contrôle de toutes les trajectoires exactement lorsque

$$\boxed{0<a<2.}$$

10.

La récurrence $(R)$ a pour polynôme caractéristique

$$P_a(r)=r^2-(2-a^2)r+1.$$

Son discriminant vaut

$$\Delta =(2-a^2)^2-4 =a^2(a^2-4).$$

Cas $0<a<2$.

On a $\Delta<0$. Les deux racines sont complexes conjuguées et leur produit vaut $1$. Elles ont donc toutes deux un module égal à $1$. Toute solution réelle de la récurrence est une combinaison de termes oscillants et reste bornée.

Cas $a=2$.

On a

$$P_2(r)=(r+1)^2.$$

Les solutions sont de la forme

$$X_n=(C+Dn)(-1)^n.$$

Elles ne sont pas toutes bornées. Par exemple, pour $(X_0,Y_0)=(1,0)$,

$$X_1=(1-4)X_0+2Y_0=-3.$$

On obtient $C=1$ et $D=2$, donc

$$X_n=(2n+1)(-1)^n,$$

qui est non bornée.

Cas $a>2$.

On a $\Delta>0$. Les deux racines sont réelles, leur produit vaut $1$, et leur somme vaut

$$2-a^2<-2.$$

Elles sont donc négatives et l'une d'elles a une valeur absolue strictement supérieure à $1$. La récurrence possède alors des solutions croissant géométriquement en valeur absolue.

Comme $a>0$, toute paire $(X_0,X_1)$ correspond à une unique valeur

$$Y_0=\frac{X_1-(1-a^2)X_0}{a},$$

donc ces solutions de la récurrence correspondent bien à de véritables trajectoires du schéma $(S)$.

Finalement,

$$\boxed{ \text{toutes les trajectoires de }(S)\text{ sont bornées} \iff 0<a<2.}$$

Cette conclusion coïncide exactement avec celle obtenue par l'invariant $Q_a$.

En revanche, $\det S_a=1$ pour toute valeur de $a$. Le déterminant égal à $1$ exprime une conservation d'aire orientée, mais il ne garantit pas que les orbites restent dans une région bornée. Les cas $a\ge2$ montrent explicitement la différence entre préservation d'aire et stabilité.

11.

Dans le domaine stable $0<a<2$, les deux racines peuvent s'écrire

$$r_1=e^{i\theta}, \qquad r_2=e^{-i\theta},$$

avec $\theta\in(0,\pi)$. Leur somme vaut à la fois $2\cos\theta$ et $2-a^2$, donc

$$\boxed{\cos\theta=1-\frac{a^2}{2}.}$$

Comme

$$\cos\bigl(2\arcsin(a/2)\bigr) =1-2\left(\frac a2\right)^2 =1-\frac{a^2}{2},$$

et comme $2\arcsin(a/2)\in(0,\pi)$,

$$\boxed{\theta=2\arcsin\left(\frac a2\right).}$$

Comparons $\theta$ à $a$. Pour $a\in(0,2)$, posons

$$g(a)=\cos a-1+\frac{a^2}{2}.$$

On a $g(0)=0$ et

$$g'(a)=a-\sin a>0$$

pour $a>0$. Ainsi

$$\cos a>1-\frac{a^2}{2}=\cos\theta.$$

Or $a,\theta\in(0,\pi)$ et le cosinus y est strictement décroissant, donc

$$\boxed{\theta>a.}$$

Par conséquent

$$\omega_h=\frac\theta h >\frac ah =\omega.$$

Le schéma oscille donc légèrement trop vite.

Au voisinage de $0$,

$$\arcsin u=u+\frac{u^3}{6}+o(u^3).$$

Avec $u=a/2$,

$$\theta =2\arcsin(a/2) =a+\frac{a^3}{24}+o(a^3).$$

Ainsi

$$\boxed{ \frac{\omega_h}{\omega} =\frac{\theta}{a} =1+\frac{a^2}{24}+o(a^2) =1+\frac{\omega^2h^2}{24}+o(h^2).}$$

La récurrence exacte de la question 6 est

$$X_{n+1}^{\mathrm{ex}} =2\cos(a)X_n^{\mathrm{ex}}-X_{n-1}^{\mathrm{ex}},$$

tandis que le schéma $(S)$ donne

$$X_{n+1} =(2-a^2)X_n-X_{n-1}.$$

Or

$$2\cos a =2-a^2+\frac{a^4}{12}+o(a^4).$$

Les coefficients coïncident donc jusqu'à l'ordre $2$ et commencent à se séparer à l'ordre $4$ :

$$\boxed{ 2\cos a-(2-a^2) =\frac{a^4}{12}+o(a^4).}$$

Cette petite différence de coefficient correspond à une différence d'angle par pas

$$\theta-a =\frac{a^3}{24}+o(a^3),$$

qui s'accumule au fil des itérations : c'est précisément l'erreur de phase du schéma.

V — Synthèse : pourquoi changer de représentation ?

12.

Les quatre points de vue portent sur le même oscillateur mais ne mettent pas en avant les mêmes structures.

La solution temporelle représente l'état par la fonction réelle $x(t)$. Elle donne directement la position à un instant donné, l'amplitude $A$, la phase $\varphi$ et la période. Cette description est exacte.

La géométrie de l'énergie représente l'état par le point $U=(x,x'/\omega)$ du plan. L'invariant devient l'équation d'un cercle ; l'orientation et la vitesse de parcours deviennent des propriétés géométriques. Cette description est encore exacte.

La coordonnée complexe représente l'état par

$$z=x+i\frac{x'}{\omega}.$$

Toute l'évolution se réduit à la multiplication par $e^{-i\omega t}$. Le module code l'invariant, l'argument code la phase et la rotation code simultanément le sens et la période. L'échantillonnage exact de la question 6 reste lui aussi une description exacte de ce mouvement.

Enfin, le modèle discret numérique représente l'état par une suite de vecteurs et une matrice d'itération. Il rend visibles des propriétés qui n'ont pas d'analogue dans la simple formule exacte : croissance artificielle de l'énergie pour Euler explicite, invariant modifié pour $(S)$, domaine de stabilité et erreur de phase. Ici, il s'agit d'approximations du mouvement continu.

Dans la première représentation, le problème est surtout un problème de résolution d'équation différentielle. Dans la deuxième, il devient un problème de géométrie d'une courbe de niveau. Dans la troisième, toute l'évolution est condensée en une rotation complexe. Dans la quatrième, la question centrale n'est plus seulement « quelle est la solution ? », mais « quelles structures du modèle continu survivent après discrétisation ? ».

Changer de représentation est donc ici une méthode mathématique : on ne change pas l'objet étudié, mais on choisit les coordonnées et le langage dans lesquels la propriété recherchée devient la plus simple à voir, à calculer ou à démontrer.

Sources

[SOURCE] Ministère de l'Enseignement supérieur et de la Recherche, Programme de mathématiques de PCSI, Bulletin officiel spécial n°1 du 11 février 2021 : Lien direct.

[SOURCE] Ernst Hairer, Christian Lubich et Gerhard Wanner, Geometric Numerical Integration: Structure-Preserving Algorithms for Ordinary Differential Equations, Springer, 2e éd., 2006 : Lien direct.