L'oscillateur vu de quatre façons

Un oscillateur harmonique se résout explicitement, mais une formule n'est pas toujours la meilleure représentation pour répondre à toutes les questions. Dans ce problème, on suit un seul et même mouvement en changeant de point de vue : solution temporelle, géométrie d'un invariant, rotation complexe puis modèle discret. Chaque représentation devra faire apparaître une information que les précédentes rendaient moins visible.

On fixe $\omega>0$. On considère une fonction $x\in\mathcal C^2(\mathbb R,\mathbb R)$ vérifiant

$$x''(t)+\omega^2x(t)=0,$$

avec

$$x(0)=x_0,\qquad x'(0)=v_0.$$

I — Première façon : connaître exactement le mouvement

1. Résoudre le problème de Cauchy. Distinguer soigneusement le cas d'équilibre du cas non constant.

Dans le cas non constant, déterminer un réel $A>0$ et une phase $\varphi$, définie modulo $2\pi$, tels que

$$x(t)=A\cos(\omega t-\varphi).$$

Exprimer $A$ et caractériser $\varphi$ à partir de $x_0$ et $v_0$. En déduire l'image de $x$, la valeur maximale de $|x'|$ et la plus petite période strictement positive du mouvement.

La formule obtenue permet de calculer $x(t)$ à tout instant. On cherche maintenant une information qui ne dépende plus de l'instant choisi.

II — Deuxième façon : découvrir ce qui ne change pas

2. Pour $(\alpha,\beta)\in\mathbb R^2$, on considère

$$I_{\alpha,\beta}(t)=\alpha x'(t)^2+\beta x(t)^2.$$

Déterminer tous les couples $(\alpha,\beta)$ pour lesquels $I_{\alpha,\beta}$ est constante pour toute solution de l'équation différentielle. En choisissant une normalisation naturelle, faire apparaître une quantité $E$ et exprimer sa valeur en fonction de $x_0$ et $v_0$.

3. On pose désormais

$$y(t)=\frac{x'(t)}{\omega}, \qquad U(t)=\begin{pmatrix}x(t)\\y(t)\end{pmatrix}.$$

Sans utiliser l'expression explicite de $x$ obtenue dans la partie I, décrire complètement la trajectoire de $U$ lorsque le mouvement n'est pas l'équilibre : son support, son sens de parcours et sa vitesse de parcours.

Retrouver alors géométriquement la période du mouvement. Décrire aussi la trajectoire dans les coordonnées $(x,x')$ et expliquer ce que le changement de variable $y=x'/\omega$ a apporté.

L'invariant donne une courbe et le système différentiel indique comment elle est parcourue. On va maintenant chercher une représentation qui rassemble ces deux informations dans un seul objet.

III — Troisième façon : trouver la bonne coordonnée complexe

4. Pour $c\in\mathbb R^*$, on définit

$$z_c(t)=x(t)+ic\,x'(t).$$

On cherche les valeurs de $c$ pour lesquelles il existe un nombre complexe $\lambda$, indépendant de la solution choisie, tel que toute solution vérifie

$$z_c'(t)=\lambda z_c(t).$$

Déterminer tous les couples $(c,\lambda)$ possibles. Dans la suite, on retient le choix $c=1/\omega$ et l'on note simplement $z=z_{1/\omega}$.

5. Établir une formule explicite donnant $z(t)$ en fonction de $z(0)$. Montrer comment cette unique formule permet de retrouver à la fois l'amplitude, la phase, l'invariant de la partie II, le sens de parcours et la période.

6. On observe maintenant exactement le mouvement toutes les $h>0$ secondes. On pose

$$a=\omega h, \qquad Z_n^{\mathrm{ex}}=z(nh), \qquad X_n^{\mathrm{ex}}=x(nh), \qquad Y_n^{\mathrm{ex}}=\frac{x'(nh)}{\omega}.$$

(a) Déterminer la transformation qui fait passer de $Z_n^{\mathrm{ex}}$ à $Z_{n+1}^{\mathrm{ex}}$, puis sa matrice réelle dans les coordonnées $(X^{\mathrm{ex}},Y^{\mathrm{ex}})$.

(b) Éliminer $Y_n^{\mathrm{ex}}$ et obtenir une récurrence linéaire d'ordre $2$ vérifiée par $(X_n^{\mathrm{ex}})$, valable pour toute valeur de $a$.

(c) Lorsque l'état initial est non nul, caractériser les pas $h$ pour lesquels la suite $(Z_n^{\mathrm{ex}})$ est périodique. Si

$$\frac{a}{2\pi}=\frac pq$$

avec $p\in\mathbb Z$, $q\in\mathbb N^*$ et $p/q$ irréductible, déterminer sa plus petite période en nombre de pas.

Cette récurrence est encore une description exacte du mouvement. La dernière partie remplace maintenant le mouvement continu par de véritables approximations et demande ce qu'elles conservent — ou détruisent.

IV — Quatrième façon : discrétiser et tester la fidélité du modèle

Dans toute cette partie, $a=\omega h>0$.

7. On applique au système portant sur $(x,y)$ le schéma d'Euler explicite :

$$\begin{cases} X_{n+1}^{\mathrm E}=X_n^{\mathrm E}+aY_n^{\mathrm E},\\ Y_{n+1}^{\mathrm E}=Y_n^{\mathrm E}-aX_n^{\mathrm E}. \end{cases}$$

Étudier exactement l'évolution de

$$R_n^2=(X_n^{\mathrm E})^2+(Y_n^{\mathrm E})^2.$$

En déduire le comportement à long terme de toute trajectoire non nulle et comparer ce résultat avec l'invariant continu de la partie II.

8. On modifie seulement l'ordre dans lequel les deux nouvelles coordonnées sont calculées :

$$\begin{cases} Y_{n+1}=Y_n-aX_n,\\ X_{n+1}=X_n+aY_{n+1}. \end{cases} \tag{S}$$

Déterminer la matrice $S_a$ de ce schéma, calculer son déterminant, puis éliminer $Y_n$ afin d'obtenir une récurrence d'ordre $2$ portant uniquement sur $X_n$.

9. On cherche maintenant si le schéma $(S)$ possède un invariant polynomial du second degré. Déterminer tous les triplets $(\alpha,\beta,\gamma)\in\mathbb R^3$ tels que

$$\alpha X_n^2+\beta X_nY_n+\gamma Y_n^2$$

soit constant pour toute trajectoire de $(S)$.

Choisir une normalisation simple et noter $Q_a$ l'invariant ainsi obtenu. Déterminer pour quelles valeurs de $a>0$ la conservation de $Q_a$ suffit à garantir que toutes les trajectoires de $(S)$ sont bornées. Dans ce cas, décrire géométriquement les courbes de niveau positives de $Q_a$.

10. Reprendre la récurrence obtenue à la question 8 et étudier son polynôme caractéristique selon la valeur de $a>0$.

Déterminer exactement les valeurs de $a$ pour lesquelles toutes les trajectoires du schéma $(S)$ sont bornées. Les cas frontières doivent être traités, et pas seulement obtenus par continuité.

Comparer cette conclusion avec la question 9. Le fait que $\det S_a=1$ suffisait-il à prévoir la stabilité ?

11. On se place désormais dans le domaine où toutes les trajectoires sont bornées.

Les racines du polynôme caractéristique peuvent alors s'écrire $e^{i\theta}$ et $e^{-i\theta}$ avec $\theta\in(0,\pi)$. Déterminer $\theta$ en fonction de $a$, puis comparer $\theta$ à l'angle exact $a$ parcouru pendant un pas.

On définit la pulsation numérique par

$$\omega_h=\frac{\theta}{h}.$$

Comparer $\omega_h$ à $\omega$ et déterminer un développement limité de $\omega_h/\omega$ lorsque $h\to0^+$, jusqu'au premier terme non constant.

Enfin, comparer la récurrence exacte de la question 6 à celle du schéma $(S)$ et déterminer à quel ordre en $a$ leurs coefficients commencent à différer. Relier ce calcul à la déformation de phase mise en évidence ci-dessus.

V — Synthèse : pourquoi changer de représentation ?

12. Sans nouveau calcul, relier explicitement les quatre descriptions rencontrées.

Pour chacune d'elles, préciser :

• l'objet mathématique qui représente l'état de l'oscillateur ;
• ce qui devient particulièrement simple ou visible dans cette représentation ;
• ce qui est exact et, dans la partie discrète, ce qui n'est plus qu'une approximation.