Un cercle devient une droite

L’idée centrale est de ne pas chercher directement l’identité de Ptolémée sur le cercle. L’inversion transforme d’abord ce cercle en une droite ; sur cette droite, l’identité devient une simple addition de longueurs. La même transformation donnera ensuite l’inégalité générale et son cas d’égalité.

I — Changer un cercle en droite

(a) Comme

$$z^\star=\frac{z}{|z|^2},$$

le quotient $z^\star/z=1/|z|^2$ est un réel strictement positif. Les points $M$ et $M^\star$ appartiennent donc à la même demi-droite issue de $O$. De plus,

$$|z^\star|=\frac1{|z|},$$

d’où

$$OM\cdot OM^\star=1.$$

(b) L’inversion conserve la demi-droite issue de $O$ et remplace la distance à $O$ par son inverse. Une seconde inversion restitue donc le point initial :

$$(M^\star)^\star=M.$$

Un point $M\neq O$ est fixe si et seulement si $OM=OM^\star$. Comme $OM\,OM^\star=1$, cela équivaut à $OM=1$. Les points fixes sont exactement les points du cercle unité.

(c) On calcule

$$z^\star-w^\star =\frac1{\overline z}-\frac1{\overline w} =\frac{\overline w-\overline z}{\overline z\,\overline w}.$$

En prenant les modules,

$$|z^\star-w^\star| =\frac{|w-z|}{|z|\,|w|}.$$

Ainsi,

$$M^\star N^\star =\frac{MN}{OM\,ON}.$$

(a) Puisque $\mathcal C$ passe par $O$ et a pour centre $C$ d’affixe $c$, son rayon vaut $|c|$. On a donc

$$M(z)\in\mathcal C \quad\Longleftrightarrow\quad |z-c|=|c|.$$

En élevant au carré,

$$(z-c)(\overline z-\overline c)=c\overline c,$$

soit

$$|z|^2-z\overline c-\overline z c=0.$$

Par conséquent,

$$M(z)\in\mathcal C \quad\Longleftrightarrow\quad |z|^2-2\operatorname{Re}(\overline c z)=0.$$

(b) Si $z\neq0$, on divise cette dernière égalité par $|z|^2$ et on utilise

$$z^\star=\frac{z}{|z|^2}.$$

On obtient

$$\operatorname{Re}(\overline c z^\star)=\frac12.$$

L’image de $\mathcal C\setminus\{O\}$ est donc contenue dans

$$\mathcal D_c: \operatorname{Re}(\overline c u)=\frac12.$$

Réciproquement, soit $u\in\mathcal D_c$. On a nécessairement $u\neq0$, puisque $\operatorname{Re}(\overline c u)=1/2$. Posons $z=u^\star$. L’involutivité donne $u=z^\star$ ; en lisant le calcul précédent à l’envers, on obtient

$$|z|^2-2\operatorname{Re}(\overline c z)=0.$$

Ainsi $z\in\mathcal C\setminus\{O\}$. L’inversion réalise bien une bijection de $\mathcal C\setminus\{O\}$ sur $\mathcal D_c$.

(a) On utilise

$$1+e^{it} =2\cos\frac t2\,e^{it/2}.$$

Comme $t/2\in(-\pi/2,\pi/2)$, on a $\cos(t/2)>0$. Ainsi

$$z(t)=2r\cos\frac t2\,e^{it/2}$$

et

$$|z(t)|^2=4r^2\cos^2\frac t2.$$

Par conséquent,

$$z(t)^\star =\frac{z(t)}{|z(t)|^2} =\frac1{2r}\frac{e^{it/2}}{\cos(t/2)} =\frac1{2r}\left(1+i\tan\frac t2\right).$$

(b) On lit directement

$$\operatorname{Im}\bigl(z(t)^\star\bigr) =\frac1{2r}\tan\frac t2.$$

La fonction tangente est strictement croissante sur $(-\pi/2,\pi/2)$ et $1/(2r)>0$. Donc, si $t_1<t_2$,

$$\operatorname{Im}\bigl(z(t_1)^\star\bigr) < \operatorname{Im}\bigl(z(t_2)^\star\bigr).$$

Tous les points inverses ayant la même partie réelle $1/(2r)$, l’ordre des paramètres correspond exactement à l’ordre vertical sur $\mathcal D_r$.

II — Ptolémée : une addition cachée

(a) Le cercle passant par $A$, choisi comme centre de l’inversion, est transformé en une droite d’après la question 2. Les points $B^\star,C^\star,D^\star$ sont donc alignés.

De plus,

$$t_B<t_C<t_D.$$

La question 3 montre que le même ordre est conservé sur la droite des points inverses. Ainsi

$$C^\star\in[B^\star,D^\star].$$

On obtient donc l’addition de longueurs

$$B^\star D^\star =B^\star C^\star+C^\star D^\star.$$

(b) La formule de la question 1, appliquée avec $A$ pour centre d’inversion, donne

$$B^\star D^\star =\frac{BD}{AB\,AD}, \qquad B^\star C^\star =\frac{BC}{AB\,AC}, \qquad C^\star D^\star =\frac{CD}{AC\,AD}.$$

On remplace ces trois expressions dans l’égalité précédente :

$$\frac{BD}{AB\,AD} = \frac{BC}{AB\,AC} + \frac{CD}{AC\,AD}.$$

En multipliant par $AB\,AC\,AD$, qui est strictement positif, on obtient

$$AC\cdot BD =AD\cdot BC+AB\cdot CD.$$

C’est le théorème de Ptolémée.

III — Deux conséquences

5. Les diagonales d’un rectangle se coupent en leur milieu et ont même longueur. Leur point d’intersection est donc équidistant des quatre sommets : le rectangle est inscriptible dans un cercle.

Ses deux diagonales ont longueur $d$, et ses côtés ont pour longueurs $a,b,a,b$. Le théorème de Ptolémée donne

$$d\cdot d=a\cdot a+b\cdot b.$$

Ainsi

$$d^2=a^2+b^2,$$

ce qui redonne le théorème de Pythagore.

6. Prenons quatre sommets consécutifs $A,B,C,D$ du pentagone régulier. On a

$$AB=BC=CD=s$$

et

$$AC=BD=AD=d.$$

Ptolémée donne donc

$$d^2=s^2+sd.$$

Comme $s>0$, posons

$$x=\frac ds>0.$$

Après division par $s^2$,

$$x^2=x+1.$$

Les deux solutions sont

$$\frac{1\pm\sqrt5}{2}.$$

La seule solution positive est

$$\boxed{\frac ds=\frac{1+\sqrt5}{2}}.$$

Le nombre d’or apparaît ainsi comme le rapport entre la diagonale et le côté d’un pentagone régulier.

IV — Au-delà du cercle

(a) Pour trois points quelconques $B^\star,C^\star,D^\star$, l’inégalité triangulaire donne

$$B^\star D^\star \leqslant B^\star C^\star+C^\star D^\star.$$

En utilisant de nouveau la formule de la question 1 avec centre $A$,

$$\frac{BD}{AB\,AD} \leqslant \frac{BC}{AB\,AC} + \frac{CD}{AC\,AD}.$$

Les quatre points étant distincts, $AB$, $AC$ et $AD$ sont strictement positifs. On peut donc multiplier par leur produit et obtenir

$$AC\cdot BD \leqslant AD\cdot BC+AB\cdot CD.$$

C’est l’inégalité de Ptolémée.

(b) Dans l’inégalité triangulaire

$$PQ\leqslant PR+RQ,$$

l’égalité a lieu exactement lorsque $R$ appartient au segment $[P,Q]$. Ici, l’unique inégalité utilisée est

$$B^\star D^\star \leqslant B^\star C^\star+C^\star D^\star.$$

Toutes les transformations algébriques qui suivent sont des multiplications par des nombres strictement positifs. Par conséquent,

$$AC\cdot BD =AB\cdot CD+AD\cdot BC$$

si et seulement si

$$C^\star\in[B^\star,D^\star].$$

(a) Écrivons $u=x+iy$. Toute droite du plan admet une équation cartésienne

$$\alpha x+\beta y=\gamma,$$

avec $(\alpha,\beta)\neq(0,0)$. Comme la droite ne passe pas par $O$, on a $\gamma\neq0$. Posons

$$c=\frac{\alpha+i\beta}{2\gamma}.$$

Alors $c\neq0$ et

$$\operatorname{Re}(\overline c u) =\frac{\alpha x+\beta y}{2\gamma}.$$

L’équation de la droite devient donc

$$\operatorname{Re}(\overline c u)=\frac12.$$

Elle est exactement de la forme $\mathcal D_c$ de la question 2. Cette question a montré que l’inversion réalise une bijection

$$\mathcal C\setminus\{O\} \longrightarrow \mathcal D_c,$$

où $\mathcal C$ est le cercle de centre d’affixe $c$ passant par $O$. Comme l’inversion est involutive, elle réalise aussi une bijection

$$\mathcal D_c \longrightarrow \mathcal C\setminus\{O\}.$$

Ainsi l’image par inversion d’une droite ne passant pas par $O$ est un cercle passant par $O$, privé du point $O$ lui-même.

(b) Supposons d’abord que l’égalité de Ptolémée soit vérifiée. D’après la question 7,

$$C^\star\in[B^\star,D^\star].$$

Les trois points $B^\star,C^\star,D^\star$ appartiennent donc à une même droite $\mathcal D$. Cette droite ne passe pas par $O$. En effet, si elle passait par $O$, la question 1(a) montrerait que $B,C,D$ appartiennent eux aussi à cette même droite passant par $A=O$, contrairement à l’hypothèse qu’aucun triplet n’est aligné.

D’après (a), l’image de $\mathcal D$ par inversion est donc un cercle passant par $A=O$, et $B,C,D$ appartiennent à ce cercle. Les quatre points sont cocycliques.

Pour déterminer l’ordre, on peut effectuer une rotation du repère afin que le centre de ce cercle ait une affixe réelle positive, puis, si nécessaire, une symétrie par rapport à l’axe réel. On se retrouve exactement dans le paramétrage de la question 3. Comme $C^\star$ est entre $B^\star$ et $D^\star$, la stricte monotonie obtenue en 3(b) montre que l’on rencontre sur le cercle soit

$$A,B,C,D,$$

soit l’ordre inverse

$$A,D,C,B.$$

Réciproquement, supposons les quatre points cocycliques dans l’ordre $A,B,C,D$, ou dans l’ordre inverse. Le théorème de Ptolémée démontré à la question 4 s’applique et donne

$$AC\cdot BD =AB\cdot CD+AD\cdot BC.$$

Ainsi, sous l’hypothèse d’absence de triplet aligné, l’égalité dans l’inégalité de Ptolémée caractérise exactement les quadrilatères cycliques avec l’ordre correspondant.

Le même mécanisme explique donc à la fois l’identité et l’inégalité : sur les points inverses, Ptolémée n’est rien d’autre que l’inégalité triangulaire, et le cas cyclique est précisément celui où cette inégalité devient une égalité sur une droite.

Sources

[SOURCE] Coxeter et Greitzer — Geometry Revisited. Lien direct [SOURCE] Evan Chen — Euclidean Geometry in Mathematical Olympiads. Lien direct