Un cercle devient une droite

Une identité métrique sur quatre points d’un cercle peut sembler difficile à deviner. L’idée de ce problème est de modifier complètement la figure : une transformation simple fera d’un cercle une droite, et une relation non linéaire deviendra alors une addition de longueurs.

Le plan est identifié à $\mathbb C$ dans un repère orthonormé direct d’origine $O$. Si $M\neq O$ a pour affixe $z$, on définit son inverse $M^\star$ par

$$z^\star=\frac{1}{\overline z}=\frac{z}{|z|^2}.$$

L’inversion est ici entièrement définie par cette formule : aucune connaissance préalable sur cette transformation n’est supposée.

I — Changer un cercle en droite

1. Soient $M,N\neq O$, d’affixes respectives $z$ et $w$.

(a) Montrer que $M$ et $M^\star$ appartiennent à une même demi-droite issue de $O$ et que

$$OM\cdot OM^\star=1.$$

(b) En déduire que l’inversion est involutive,

$$(M^\star)^\star=M,$$

et déterminer ses points fixes.

(c) Établir la formule de transformation des distances

$$M^\star N^\star=\frac{MN}{OM\,ON}.$$

2. Soit $\mathcal C$ un cercle passant par $O$, de centre $C$ d’affixe $c\neq0$.

(a) Montrer que, pour tout point $M$ d’affixe $z$,

$$M\in\mathcal C \quad\Longleftrightarrow\quad |z|^2-2\operatorname{Re}(\overline c z)=0.$$

(b) Montrer que l’inversion réalise une bijection de $\mathcal C\setminus\{O\}$ sur la droite

$$\mathcal D_c: \operatorname{Re}(\overline c u)=\frac12.$$

3. Après une rotation du repère, on peut supposer $c=r>0$. Le cercle $\mathcal C$ est alors paramétré, hors du point $O$, par

$$z(t)=r(1+e^{it}), \qquad -\pi<t<\pi.$$

(a) Montrer que

$$z(t)^\star = \frac1{2r}\left(1+i\tan\frac t2\right).$$

(b) Montrer que, pour $-\pi<t_1<t_2<\pi$,

$$\operatorname{Im}\bigl(z(t_1)^\star\bigr) < \operatorname{Im}\bigl(z(t_2)^\star\bigr).$$

Autrement dit, l’ordre des paramètres correspond à l’ordre vertical des points inverses sur $\mathcal D_r$.

II — Ptolémée : une addition cachée

Soient $A,B,C,D$ quatre points distincts d’un même cercle, placés dans cet ordre sur le cercle. On choisit $A$ pour origine et on applique l’inversion précédente aux trois autres sommets. Après une rotation, et si nécessaire une symétrie par rapport à l’axe réel, les paramètres de la question 3 peuvent être choisis de sorte que

$$-\pi<t_B<t_C<t_D<\pi.$$

(a) Montrer que $B^\star,C^\star,D^\star$ sont alignés et que

$$C^\star\in[B^\star,D^\star].$$

En déduire

$$B^\star D^\star = B^\star C^\star+C^\star D^\star.$$

(b) À l’aide de la formule de transformation des distances obtenue à la question 1, démontrer le théorème de Ptolémée :

$$AC\cdot BD = AB\cdot CD+AD\cdot BC.$$

III — Deux conséquences

5. Un rectangle de côtés $a$ et $b$ a pour diagonale $d$. Montrer qu’il est inscriptible dans un cercle, puis retrouver le théorème de Pythagore en appliquant Ptolémée à ses quatre sommets :

$$d^2=a^2+b^2.$$

6. Dans un pentagone régulier inscrit dans un cercle, on note $s$ la longueur d’un côté et $d$ celle d’une diagonale. Appliquer Ptolémée à quatre sommets consécutifs pour établir

$$d^2=s^2+sd,$$

puis déterminer exactement le rapport $d/s$.

IV — Au-delà du cercle

7. Soient maintenant $A,B,C,D$ quatre points distincts quelconques du plan. On choisit $A$ pour centre de l’inversion.

(a) Établir l’inégalité

$$B^\star D^\star\leqslant B^\star C^\star+C^\star D^\star,$$

puis utiliser la question 1 pour démontrer l’inégalité de Ptolémée

$$AC\cdot BD \leqslant AB\cdot CD+AD\cdot BC.$$

(b) Montrer que l’égalité a lieu dans cette inégalité si et seulement si

$$C^\star\in[B^\star,D^\star].$$

8. On complète maintenant la description géométrique de l’inversion.

(a) Montrer que toute droite $\mathcal D$ ne passant pas par $O$ peut s’écrire, pour un certain $c\in\mathbb C^*$,

$$\mathcal D: \operatorname{Re}(\overline c u)=\frac12.$$

En déduire de la question 2 que l’image de $\mathcal D$ par inversion est un cercle passant par $O$, privé du point $O$ lui-même.

(b) On suppose qu’aucun triplet parmi $A,B,C,D$ n’est aligné. Montrer que l’égalité

$$AC\cdot BD = AB\cdot CD+AD\cdot BC$$

est vérifiée si et seulement si les quatre points sont sur un même cercle dans l’ordre cyclique $A,B,C,D$, ou dans l’ordre inverse.

L’inversion ne conserve pas les distances, mais elle les déforme suivant une règle assez précise pour transformer une identité quadratique en une simple addition sur une droite. Le même changement de point de vue donne ensuite l’inégalité générale de Ptolémée et explique exactement quand l’égalité se produit.