Devoir maison de mathématiques · Inversion et théorème de Ptolémée
Un cercle devient une droite
Un problème de PCSI où l’inversion complexe transforme un cercle en droite, fait apparaître le théorème de Ptolémée comme une addition de longueurs, puis conduit à plusieurs applications et au cas d’égalité de l’inégalité de Ptolémée.
Objectifs
Ce que ce DM fait travailler
- Construire l’inversion de centre O et de puissance 1
- Démontrer qu’un cercle passant par le centre d’inversion devient une droite
- Démontrer le théorème de Ptolémée par inversion
- Retrouver Pythagore, le nombre d’or et une formule d’addition trigonométrique
- Caractériser algébriquement le cas d’égalité de l’inégalité de Ptolémée
Avant de commencer
Prérequis utiles
Il n’est pas nécessaire de tout maîtriser parfaitement, mais ces notions doivent être déjà connues pour que le devoir reste un travail de raisonnement plutôt qu’un rattrapage de cours.
- Module, argument et conjugaison des nombres complexes
- Exponentielle complexe et formules trigonométriques usuelles
- Interprétation géométrique des nombres complexes
- Inégalité triangulaire et manipulations algébriques élémentaires
Méthode
Comment l’utiliser
Prévoir environ 3 h et garder une trace des essais, y compris ceux qui échouent.
Écrire une solution justifiée avant d’ouvrir le corrigé, même si certaines questions restent incomplètes.
Repérer les différences de méthode, de précision et de rédaction plutôt que seulement les résultats.