Olympiades de maths : comment commencer à chercher des problèmes ?

Dans un exercice habituel, le chapitre fournit souvent une indication sur la méthode à utiliser. Dans un problème d'Olympiades, il faut parfois inventer le chemin : comprendre ce qui est demandé, essayer des configurations, éliminer les fausses pistes et trouver un argument qui s'applique à tous les cas visés.

Tu n'as pas besoin de tout résoudre pour commencer à progresser. Mais il faut distinguer ce que tu as observé, ce que tu supposes et ce que tu as effectivement démontré.

Première étape : que faire devant un problème inconnu ?

Lis l'énoncé en cherchant trois choses : les objets que tu peux manipuler, les contraintes à respecter et la conclusion demandée. Sur un dessin, marque les informations qui ne peuvent pas changer. Sur un problème de nombres, calcule quelques exemples, en précisant ceux que tu as testés.

Fais ensuite un cas plus petit ou plus simple. Garde tes essais : un échec peut montrer pourquoi une disposition ne marche pas. Dès que tu crois reconnaître une régularité, formule une phrase précise : « pour toutes les grilles de telle taille, je pense pouvoir… ». Il restera à expliquer comment construire la solution ou pourquoi elle existe.

Voyons ce travail sur un problème où l'on peut dessiner avant de démontrer.

Un défi des Olympiades 2026 : recouvrir un carré avec des triominos

L'exemple est adapté de l'exercice 1, question 5 (a, b, c), du sujet national des Olympiades de mathématiques 2026, commun aux candidats. Lire l'énoncé officiel, page 3 de la partie nationale.

Un triomino en L est une pièce composée de trois petits carrés identiques disposés comme trois cases d'un carré $2\times2$ dont on aurait retiré un coin. On peut tourner la pièce, mais pas la déformer. Paver une grille signifie couvrir toutes ses cases restantes, exactement une fois, sans chevauchement ni débordement.

Défi. On part d'une grille carrée de $4\times4$ cases. On retire le coin supérieur gauche. Peux-tu recouvrir les 15 cases qui restent avec cinq triominos en L ?

Prends un papier quadrillé. Essaie de placer une première pièce dans un coin. Puis recommence en regardant plutôt le centre. L'ordre dans lequel tu poses les pièces peut changer la difficulté du problème.

Trois indices, à ouvrir si tu bloques

Indice 1 — Regarde les dimensions

Découpe mentalement la grille en quatre carrés de $2\times2$. Combien de cases manque-t-il dans chacun ?

Indice 2 — Observe les quatre cases centrales

La grille possède quatre cases voisines du centre, une dans chaque petit carré. Peux-tu poser un triomino sur trois d'entre elles ?

Indice 3 — Réduis le problème

Après avoir placé cette pièce centrale, chacun des quatre carrés de $2\times2$ a exactement une case inaccessible ou retirée. Combien de pièces faut-il alors dans chacun ?

Une construction avec cinq triominos

La pièce A est placée au centre : elle occupe trois des quatre cases centrales, sans entrer dans le carré $2\times2$ du coin supérieur gauche. Dans ce dernier, une pièce B remplit les trois cases disponibles. Chacun des trois autres petits carrés contient déjà une case de A ; il reste trois cases, que remplissent C, D et E.

Tu peux vérifier sur le dessin que chaque lettre occupe exactement trois cases formant un L. On a ainsi pavé le carré $4\times4$ privé d'une case.

Un dessin réussi suffit à prouver qu'au moins un pavage existe pour cette grille particulière. Il ne prouve pas encore que toutes les grilles plus grandes fonctionnent.

Et pour une grille de 8 × 8, puis 16 × 16 ?

Une grille $8\times8$ privée d'une case possède 63 cases : il faudrait donc 21 triominos. Mais la divisibilité par trois ne construit aucun pavage.

Découpe la grille en quatre blocs de $4\times4$. Repère le bloc contenant la case manquante. Au centre de la grande grille, place un triomino de sorte qu'il occupe une case dans chacun des trois autres blocs.

Chaque bloc de $4\times4$ est maintenant privé d'une case : la vraie case manquante dans le premier, une case occupée par la pièce centrale dans chacun des trois autres. Et nous savons déjà paver un carré $4\times4$ privé d'une case… à condition d'avoir traité n'importe quelle position de cette case.

La même idée fonctionne de $8\times8$ à $16\times16$ : quatre carrés de côté 8, une pièce au centre, puis le pavage de chaque quart. Pour passer à des tailles toujours plus grandes, il faut cependant établir précisément la propriété réutilisée.

Que faire si la case manquante n'est pas dans un coin ?

Au départ, nous avons étudié le coin supérieur gauche. Mais dans le schéma $8\times8$, la case retirée est ailleurs. La stratégie doit donc être renforcée :

Propriété à démontrer. Pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 1, quelle que soit la case retirée d'un carré de $2^n\times2^n$ cases, le reste peut être pavé par des triominos en L.

La position quelconque de la case manquante n'est pas un détail : c'est ce qui permet de répéter la construction dans chaque quart, où les trous artificiels peuvent être placés à différents endroits.

Avant de lire la preuve, essaie le cas $4\times4$ avec une case retirée au milieu d'un côté, puis une case plus proche du centre. Le triomino central peut-il toujours être orienté de façon à laisser un trou dans chaque quart ?

Démonstration : répéter la construction sur des carrés plus petits

Nous allons démontrer la propriété par récurrence sur $n$.

Départ, $n=1$. Une grille $2\times2$ contient quatre cases. Si l'on en retire une, les trois autres forment toujours un L, quelle que soit la case choisie. Un seul triomino suffit.

Étape de construction. Supposons que la propriété soit vraie pour les carrés de côté $2^n$, avec une case manquante à une position quelconque. Prenons maintenant un carré de côté $2^{n+1}$ et retirons n'importe laquelle de ses cases.

Découpons ce grand carré en quatre carrés de côté $2^n$. La case absente se trouve dans exactement un de ces quatre carrés.

Les quatre petits carrés se rencontrent au centre du grand : on peut y repérer quatre cases, une dans chaque quart. Plaçons un triomino en L sur les trois cases centrales appartenant aux trois quarts qui ne contiennent pas la case retirée.

Le quart qui contient la case initialement manquante a toujours son trou. Chacun des trois autres quarts a désormais, pour le pavage restant, une case indisponible à cause du triomino central.

Ainsi, les quatre quarts sont chacun un carré de côté $2^n$ privé d'une case. Par l'hypothèse de récurrence, chacun peut être pavé. Avec la pièce centrale, on obtient un pavage complet du grand carré : aucune case n'est recouverte deux fois, aucune case disponible n'est laissée vide.

La propriété est donc vraie au rang $n+1$. Comme elle est vraie au départ, elle est vraie pour tout entier $n\geq1$.

La démonstration ne consiste pas à dessiner toutes les grilles. Elle montre comment transformer systématiquement un problème de taille $2^{n+1}$ en quatre problèmes de taille $2^n$, pour lesquels une solution existe déjà.

Combien de pièces utilise-t-on ? Une grille de côté $2^n$ possède $4^n$ cases. Après retrait d'une case, il en reste $4^n-1$. Chaque triomino en recouvre trois : le pavage utilise exactement $(4^n-1)/3$ triominos. C'est bien un entier, car $4^n$ laisse le reste 1 dans la division par 3.

Le raisonnement fonctionne également par comptage : si le rang précédent utilise $(4^n-1)/3$ pièces dans chacun des quatre quarts, la nouvelle étape utilise une pièce centrale de plus, donc $4(4^n-1)/3+1=(4^{n+1}-1)/3$.

Un autre problème tiré du même exercice

Et si on ne retire aucune case ? Peut-on paver un carré de côté $2^n$ avec des triominos en L ?

Essaie le carré $2\times2$, puis le $4\times4$. Ne cherche pas seulement à placer les pièces : demande-toi d'abord combien de cases elles devraient recouvrir.

Voir la réponse et son argument

Impossible pour tout $n\geq1$. Le nombre total de cases est $4^n$, qui vaut 1 modulo 3. Or chaque pièce recouvre exactement trois cases. Un pavage demanderait un nombre de cases multiple de 3. Il n'en existe donc aucun. Ce raisonnement prouve l'impossibilité pour toutes les tailles, même celles que nous n'avons pas dessinées.

Le calcul montre ici que le pavage est impossible. Dans le problème précédent, le même calcul était seulement une condition nécessaire : avoir un nombre de cases multiple de trois ne suffisait pas à montrer comment les recouvrir.

Comment s'entraîner à chercher d'autres problèmes ?

Commence par une question d'annale qui tient en quelques lignes et autorise plusieurs essais. Donne-toi un temps de recherche, conserve un brouillon lisible, puis examine la correction : quelle observation faisait progresser ? Quelle étape était encore à justifier ? Réessaie quelques jours plus tard sans regarder la solution.

Tu peux varier progressivement : pavages et dénombrements, jeux à règles simples, divisibilité, suites de nombres, géométrie. La durée de recherche pourra augmenter avec l'expérience. Si une solution te résiste, écris les cas traités, les exemples vérifiés et le point exact où ta preuve s'arrête.

Un premier parcours de quatre séances, seul ou à plusieurs

Tu peux commencer par quatre séances de 30 à 45 minutes, à raison d'une par semaine si cela te convient. Un professeur qui souhaite accompagner quelques volontaires peut aussi proposer ce parcours tel quel, sans préparer de nouveaux sujets ni rédiger des corrigés supplémentaires.

1. Découvrir les triominos. Reproduis la grille $4\times4$, cherche pendant vingt minutes, puis ouvre les indices un par un. Conserve une trace de tes premiers essais.
2. Changer d'échelle. Repars du carré $8\times8$. Essaie de le découper en quatre blocs, puis compare ton idée à la construction illustrée.
3. Passer à la preuve. Explique sur une feuille pourquoi une case manquante à n'importe quelle position ne bloque pas la construction. Lis ensuite la démonstration par récurrence et reformule-la avec tes mots.
4. Changer de type de problème. Choisis une question courte dans les annales de l'APMEP. Cherche sans correction, note le point où tu bloques, puis compare avec la solution ou une correction vidéo AlgèBrille.

Ce parcours donne un premier cadre de travail, pas une préparation complète à toutes les formes d'exercices des Olympiades. Pour continuer, alterne ensuite arithmétique, géométrie, dénombrement et autres problèmes d'annales. Les élèves peuvent avancer seuls ; le rôle éventuel d'un professeur est d'aider à discuter une difficulté ou une preuve, pas de fournir d'emblée la méthode.

Corrections vidéo des Olympiades 2026

Pour retrouver d'autres questions du sujet national 2026 et leur résolution :

• Exercice 1, question 1 : comment aborder la première question.
• Correction de l'exercice 1, question 4.
• Correction de l'exercice 1, question 6 — sommes harmoniques.

Ces vidéos portent sur d'autres questions que les triominos étudiés ici. D'autres corrections seront publiées sur la chaîne YouTube AlgèBrille.

D'autres ressources

• APMEP — annales des Olympiades : sujets et corrigés classés par année et académie ; commence par une question, pas obligatoirement un sujet entier.
• Éduscol — Olympiades nationales : présentation du concours et accès à l'outil d'annales Euler de l'académie de Versailles.
• Animath — Olympiades de Première : fonctionnement et références d'annales, avec une ouverture vers d'autres activités mathématiques.
• Académie de Toulouse — sujet national et sujets académiques 2026 : retrouver le problème traité ici et explorer des exercices d'un autre type.

Si tu souhaites participer à la session 2027, retrouve les conditions, les dates et les démarches auprès de ton professeur. Tu peux découvrir le concours avant même de savoir si ton lycée organisera l'inscription.

Source du problème

Olympiades nationales de mathématiques, session 2026, sujet national, exercice 1 « Plus fort ! », question 5 « Triominos », parties a, b et c, page 3 du sujet national. Énoncé publié sur le site pédagogique de l'académie de Toulouse. Reformulation pédagogique, construction des pavages et schémas : AlgèBrille, 4 novembre 2026.