Trois façons d'approcher π

Approcher $\pi$ ne consiste pas seulement à produire des décimales : une approximation devient mathématiquement intéressante lorsqu'on sait expliquer d'où elle vient et ce que vaut son erreur. Dans ce problème, on construira trois procédés très différents — par des polygones, par une intégrale, puis par le hasard — avant de comparer la nature et le coût de leurs garanties.

Dans tout le problème, on définit, pour $x\in\left]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right[$,

$$\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}.$$

Aucune connaissance préalable sur la fonction tangente n'est supposée. On pourra utiliser les identités usuelles

$$\sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b, \qquad \cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b,$$

ainsi que $\sin^2x+\cos^2x=1$.

I — Coincer le cercle entre deux polygones

1. Soit $x\in\left]0,\frac{\pi}{2}\right[$.

(a) En étudiant la fonction $x\mapsto x-\sin x$, montrer que $\sin x<x$.

(b) En étudiant la fonction $x\mapsto \sin x-x\cos x$, montrer que $x<\tan x$.

(c) Conclure que

$$\sin x<x<\tan x.$$

2. On considère le cercle de rayon $1$. Pour un entier $m\geq 4$, on note

$$\ell_m=m\sin\left(\frac{\pi}{m}\right), \qquad u_m=m\tan\left(\frac{\pi}{m}\right).$$

(a) Expliquer géométriquement pourquoi $2\ell_m$ est le périmètre du polygone régulier à $m$ côtés inscrit dans le cercle et pourquoi $2u_m$ est celui du polygone régulier à $m$ côtés circonscrit au cercle.

(b) À l'aide de la question 1, montrer que

$$\ell_m<\pi<u_m.$$

(c) Calculer exactement $\ell_4$ et $u_4$.

3. L'intérêt de la construction précédente serait limité s'il fallait déjà connaître $\pi$ pour calculer $\sin(\pi/m)$ et $\tan(\pi/m)$. On va donc fabriquer les encadrements suivants uniquement à partir des précédents.

(a) Déduire des formules d'addition que, pour $x\in\left]0,\frac{\pi}{2}\right[$,

$$\tan\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\sin x}{1+\cos x}.$$

(b) Montrer que

$$u_{2m}=\frac{2\ell_m u_m}{\ell_m+u_m}.$$

(c) Montrer ensuite que

$$\ell_{2m}=\sqrt{\ell_m u_{2m}}.$$

4. Pour $n\in\mathbb N$, on pose

$$m_n=4\times 2^n,\qquad a_n=\ell_{m_n},\qquad b_n=u_{m_n}.$$

(a) Écrire $a_0$, $b_0$ puis les relations permettant de calculer $a_{n+1}$ et $b_{n+1}$ à partir de $a_n$ et $b_n$ seulement.

(b) Montrer que, pour tout $n$,

$$a_n<a_{n+1}<b_{n+1}<b_n.$$

(c) Interpréter cette chaîne d'inégalités en termes d'encadrements successifs de $\pi$.

5. Il reste à savoir à quelle vitesse l'étau se resserre. Soit $m\geq4$ et $x=\pi/m$.

(a) Montrer que

$$1-\cos x=2\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)\leq\frac{x^2}{2}.$$

(b) À partir de

$$u_m-\ell_m=m\sin x\,\frac{1-\cos x}{\cos x},$$

montrer que

$$0<u_m-\ell_m\leq\frac{\pi^3}{\sqrt2\,m^2}<\frac{32\sqrt2}{m^2}.$$

(c) En déduire que $a_n$ et $b_n$ convergent vers $\pi$.

(d) On pose $c_n=(a_n+b_n)/2$. Montrer que

$$|c_n-\pi|<\frac{\sqrt2}{4^n}.$$

6. En utilisant uniquement les relations de récurrence de la question 4, calculer $a_6$ et $b_6$ à la calculatrice ou avec un court programme, avec suffisamment de chiffres pour obtenir un encadrement décimal de $\pi$ de largeur inférieure à $3\times10^{-4}$.

La première méthode construit donc un intervalle déterministe autour de $\pi$. La deuxième va conserver cette idée de garantie, mais remplacer les polygones par une intégrale puis par des sommes de nombres rationnels.

II — Transformer un angle en somme calculable

7. On commence par donner un rôle analytique à la tangente.

(a) À partir de sa définition, montrer que, pour $x\in\left]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right[$,

$$\tan'(x)=\frac{1}{\cos^2x}=1+\tan^2x.$$

(b) Pour $z\in[0,1]$, on définit

$$F(z)=\int_0^z\frac{dt}{1+t^2}.$$

Montrer que la fonction $u\mapsto F(\tan u)$ a pour dérivée $1$ sur $\left]0,\frac{\pi}{4}\right[$.

(c) En déduire que

$$F(1)=\frac{\pi}{4}.$$

8. Pour $n\in\mathbb N$ et $z\in[0,1]$, on pose

$$T_n(z)=\sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^k z^{2k+1}}{2k+1}.$$

(a) Vérifier l'identité finie, valable pour $x\in[0,1]$,

$$\frac{1}{1+x^2}=\sum_{k=0}^{n}(-1)^k x^{2k} +(-1)^{n+1}\frac{x^{2n+2}}{1+x^2}.$$

(b) En intégrant entre $0$ et $z$, montrer qu'il existe un réel $R_n(z)$ tel que

$$F(z)=T_n(z)+R_n(z),$$

avec

$$(-1)^{n+1}R_n(z)\geq0 \qquad\text{et}\qquad |R_n(z)|\leq\frac{z^{2n+3}}{2n+3}.$$

9. Une première idée consiste à prendre directement $z=1$.

(a) Montrer que, pour tout $p\in\mathbb N$,

$$4T_{2p+1}(1)<\pi<4T_{2p}(1).$$

(b) Montrer que la largeur de cet encadrement vaut exactement

$$\frac{4}{4p+3}.$$

(c) Déterminer le plus petit entier $p$ qui garantit une largeur strictement inférieure à $10^{-3}$.

Cette convergence est certaine, mais lente. Plutôt que d'ajouter des milliers de termes, on va changer la manière d'écrire $\pi/4$.

10. Pour $z\in[0,1]$, on a déjà $F(z)\in[0,\pi/4]$.

(a) Justifier que

$$\tan(F(z))=z.$$

(b) À l'aide des formules d'addition, établir, lorsque les deux membres sont définis,

$$\tan(\alpha+\beta) =\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}.$$

(c) En prenant $\alpha=F(1/2)$ et $\beta=F(1/3)$, montrer que

$$\frac{\pi}{4}=F\left(\frac12\right)+F\left(\frac13\right).$$

11. On définit maintenant

$$A_n=4\left(T_n\left(\frac12\right)+T_n\left(\frac13\right)\right).$$

(a) Montrer que $A_n>\pi$ lorsque $n$ est pair et $A_n<\pi$ lorsque $n$ est impair.

(b) Montrer que

$$|A_n-\pi|\leq \frac{4}{2n+3} \left( \frac{1}{2^{2n+3}}+\frac{1}{3^{2n+3}} \right).$$

(c) Calculer $A_5$ et $A_6$. En déduire un nouvel encadrement décimal de $\pi$.

(d) Comparer ce résultat à la question 9 : qu'a-t-on réellement « accéléré » ?

III — Transformer une aire en fréquence

La troisième méthode change la nature de la garantie. On choisit au hasard des points dans le carré $[-1,1]^2$. On admet le modèle suivant : pour un point choisi uniformément dans ce carré, la probabilité d'appartenir à une région est égale au quotient de l'aire de cette région par l'aire du carré.

12. Soit $(X,Y)$ un point choisi selon ce modèle et soit $B$ la variable aléatoire qui vaut $1$ si $X^2+Y^2\leq1$, et $0$ sinon.

(a) Montrer que $B$ suit une loi de Bernoulli de paramètre

$$p=\frac{\pi}{4}.$$

(b) Expliquer pourquoi observer la fréquence des points qui tombent dans le disque peut fournir une approximation de $\pi$.

13. On répète l'expérience $N$ fois de façon indépendante. On note $B_1,\ldots,B_N$ les variables obtenues et

$$\widehat\pi_N=\frac{4}{N}\sum_{i=1}^{N}B_i.$$

(a) Calculer $\mathbb E(\widehat\pi_N)$.

(b) Montrer que

$$\operatorname{Var}(\widehat\pi_N)=\frac{16p(1-p)}{N}\leq\frac{4}{N}.$$

14. On rappelle l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev : si une variable aléatoire $Z$ possède une espérance et une variance, alors, pour tout $\varepsilon>0$,

$$\mathbb P\bigl(|Z-\mathbb E(Z)|\geq\varepsilon\bigr) \leq\frac{\operatorname{Var}(Z)}{\varepsilon^2}.$$

(a) Montrer que

$$\mathbb P\bigl(|\widehat\pi_N-\pi|\geq\varepsilon\bigr) \leq\frac{4}{N\varepsilon^2}.$$

(b) Pour un risque $\alpha\in]0,1[$, donner une condition suffisante sur $N$ pour que l'intervalle aléatoire

$$[\widehat\pi_N-\varepsilon,\widehat\pi_N+\varepsilon]$$

contienne $\pi$ avec une probabilité au moins égale à $1-\alpha$.

(c) Combien de tirages cette garantie demande-t-elle pour $\varepsilon=10^{-3}$ et un risque de $5\%$ ?

15. On considère le programme suivant.

from random import random

def approche_pi(N):
    dedans = 0
    for _ in range(N):
        x = 2 * random() - 1
        y = 2 * random() - 1
        if x*x + y*y <= 1:
            dedans += 1
    return 4 * dedans / N

(a) Expliquer pourquoi la valeur renvoyée est une réalisation de $\widehat\pi_N$.

(b) Une exécution donne un nombre très proche de $\pi$. Pourquoi cela ne constitue-t-il pas, à lui seul, un encadrement démontré de $\pi$ ?

(c) Le majorant obtenu à la question 14 est volontairement universel. Que peut-on dire de la qualité de cette garantie par rapport aux deux méthodes déterministes précédentes ?

IV — Trois approximations, trois garanties

16. On veut maintenant comparer les méthodes en visant une erreur au plus égale à $10^{-3}$.

(a) Pour la méthode des polygones, déterminer le plus petit $n$ que le majorant de la question 5(d) permet de choisir afin de garantir $|c_n-\pi|<10^{-3}$.

(b) Vérifier que, pour la méthode analytique accélérée, le majorant de la question 11(b) est déjà inférieur à $10^{-3}$ pour $n=3$.

(c) Pour la méthode de Monte-Carlo, rappeler le nombre de tirages suffisant obtenu à la question 14(c) pour une garantie à $95\%$.

(d) Les paramètres $m_n$, $n$ et $N$ ne comptent pas les mêmes opérations. Malgré cela, rédiger une courte synthèse expliquant ce que révèle chacune des trois approches sur $\pi$, et distinguer clairement garantie déterministe et garantie probabiliste.