Trois façons d'approcher π

Approcher $\pi$ ne consiste pas seulement à produire des décimales : une approximation devient mathématiquement intéressante lorsqu'on sait expliquer d'où elle vient et ce que vaut son erreur. Dans ce problème, on construira trois procédés très différents — par des polygones, par une intégrale, puis par le hasard — avant de comparer la nature et le coût des contrôles d'erreur obtenus.

Dans tout le problème, on définit, pour $x\in\left]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right[$,

$$\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}.$$

Aucune connaissance préalable sur la fonction tangente n'est supposée. On pourra utiliser les identités usuelles

$$\sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b, \qquad \cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b,$$

ainsi que $\sin^2x+\cos^2x=1$.

I — Coincer le cercle entre deux polygones

1. Établir, pour tout $x\in\left]0,\frac{\pi}{2}\right[$,

$$\sin x<x<\tan x.$$

La preuve devra partir uniquement des propriétés usuelles de $\sin$ et $\cos$ et de la définition de $\tan$ donnée ci-dessus.

2. On considère le cercle de rayon $1$. Pour un entier $m\geq4$, on pose

$$\ell_m=m\sin\left(\frac{\pi}{m}\right), \qquad u_m=m\tan\left(\frac{\pi}{m}\right).$$

(a) Donner une interprétation géométrique de $2\ell_m$ et $2u_m$, puis établir un encadrement de $\pi$ à l'aide de $\ell_m$ et $u_m$.

(b) Calculer exactement $\ell_4$ et $u_4$.

3. Le calcul direct de $\sin(\pi/m)$ et de $\tan(\pi/m)$ ferait intervenir la constante que l'on cherche précisément à approcher. On souhaite donc passer de $m$ côtés à $2m$ côtés sans nouvelle évaluation trigonométrique.

Montrer que $u_{2m}$ et $\ell_{2m}$ peuvent s'exprimer uniquement à l'aide de $\ell_m$ et $u_m$, et déterminer ces deux expressions.

4. Pour $n\in\mathbb N$, on pose

$$m_n=4\times2^n,\qquad a_n=\ell_{m_n},\qquad b_n=u_{m_n}.$$

(a) À partir de la question précédente, obtenir un procédé récurrent permettant de calculer $(a_{n+1},b_{n+1})$ à partir de $(a_n,b_n)$. Étudier la position relative de quatre nombres

$$a_n,\qquad a_{n+1},\qquad b_{n+1},\qquad b_n,$$

et interpréter le résultat géométriquement.

(b) Obtenir une majoration de $u_m-\ell_m$ de la forme

$$0<u_m-\ell_m\leq\frac{C}{m^2},$$

où $C$ est une constante numérique indépendante de $m$. On cherchera une constante explicite, sans souci d'optimalité.

En déduire la convergence de $a_n$ et $b_n$, puis un majorant explicite de l'erreur commise en prenant le milieu

$$c_n=\frac{a_n+b_n}{2}$$

comme approximation de $\pi$.

5. Sans utiliser de valeur approchée prédéfinie de $\pi$, itérer le procédé de la question 4 jusqu'à obtenir pour la première fois un encadrement $[a_n,b_n]$ de largeur strictement inférieure à $10^{-4}$.

Donner la valeur de $n$, l'encadrement obtenu et comparer ce résultat numérique avec ce que garantit à lui seul le majorant général trouvé à la question 4(b).

La première méthode construit donc un intervalle déterministe autour de $\pi$. La deuxième conservera cette idée de contrôle de l'erreur, mais remplacera les polygones par une intégrale puis par des sommes de nombres rationnels.

II — Transformer un angle en somme calculable

6. Pour $z\in[0,1]$, on définit

$$F(z)=\int_0^z\frac{dt}{1+t^2}.$$

Montrer que, pour tout $z\in[0,1]$, $F(z)$ est l'unique réel $u\in[0,\pi/4]$ tel que

$$\tan u=z.$$

En déduire une expression de $\pi$ sous la forme d'une intégrale sur $[0,1]$.

7. Pour $n\in\mathbb N$ et $z\in[0,1]$, on pose

$$T_n(z)=\sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^kz^{2k+1}}{2k+1}.$$

Comparer $F(z)$ et $T_n(z)$ en faisant apparaître un reste explicite. Déterminer le signe de ce reste et obtenir une majoration simple de sa valeur absolue, valable pour tout $z\in[0,1]$.

8. Exploiter le cas $z=1$ pour construire une famille d'encadrements déterministes de $\pi$.

Déterminer exactement leur largeur et en déduire le nombre minimal de termes de la somme à calculer pour obtenir une largeur strictement inférieure à $10^{-3}$.

Cette première exploitation de l'intégrale converge lentement. Le contrôle du reste suggère cependant qu'une même somme devient beaucoup plus efficace lorsque son argument est strictement inférieur à $1$.

9. Chercher les entiers $p,q\geq2$ pour lesquels

$$F\left(\frac1p\right)+F\left(\frac1q\right)=F(1).$$

Déterminer tous les couples possibles et justifier l'identité obtenue.

On définit alors

$$A_n=4\left(T_n\left(\frac12\right)+T_n\left(\frac13\right)\right).$$

(a) Situer $A_n$ par rapport à $\pi$ suivant la parité de $n$, puis obtenir un majorant explicite de $|A_n-\pi|$.

(b) Déterminer le plus petit $n$ pour lequel ce majorant garantit une erreur strictement inférieure à $10^{-3}$.

(c) En autorisant des ordres de troncature différents pour $F(1/2)$ et $F(1/3)$, obtenir un encadrement décimal de $\pi$ de largeur strictement inférieure à $10^{-4}$ avec le plus petit nombre total de termes possible. On comptera séparément les termes conservés dans les deux sommes.

(d) Expliquer précisément ce qui a été « accéléré » entre les questions 8 et 9.

III — Transformer une aire en fréquence

La troisième méthode change la nature du contrôle de l'erreur. On choisit au hasard des points dans le carré $[-1,1]^2$. On admet le modèle suivant : pour un point choisi uniformément dans ce carré, la probabilité d'appartenir à une région est égale au quotient de l'aire de cette région par l'aire du carré.

10. Soit $(X,Y)$ un point choisi selon ce modèle et soit $B$ la variable aléatoire qui vaut $1$ si $X^2+Y^2\leq1$, et $0$ sinon.

On répète l'expérience $N$ fois de façon indépendante et on obtient $B_1,\ldots,B_N$.

Construire à partir de $B_1,\ldots,B_N$ un estimateur $\widehat\pi_N$ de $\pi$ dont l'espérance vaut exactement $\pi$. Calculer sa variance et en donner un majorant simple ne faisant plus intervenir $\pi$.

11. On rappelle l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev : si une variable aléatoire $Z$ possède une espérance et une variance, alors, pour tout $\varepsilon>0$,

$$\mathbb P\bigl(|Z-\mathbb E(Z)|\geq\varepsilon\bigr) \leq\frac{\operatorname{Var}(Z)}{\varepsilon^2}.$$

Pour une précision $\varepsilon>0$ et un risque $\alpha\in]0,1[$, obtenir une condition suffisante sur $N$ pour que l'intervalle aléatoire centré en $\widehat\pi_N$ et de rayon $\varepsilon$ contienne $\pi$ avec une probabilité au moins égale à $1-\alpha$.

Appliquer le résultat à $\varepsilon=10^{-3}$ et à un risque de $5\%$.

12. Écrire une courte fonction Python simulant $N$ points dans le carré $[-1,1]^2$ et renvoyant l'estimateur construit à la question 10.

Expliquer ensuite pourquoi une exécution donnant plusieurs décimales correctes de $\pi$ ne constitue pas, à elle seule, un encadrement démontré de $\pi$, et commenter la précision de la borne fournie par Bienaymé-Tchebychev.

IV — Trois approximations, trois contrôles de l'erreur

13. On vise maintenant une erreur inférieure à $10^{-3}$.

En vous fondant sur les majorants généraux obtenus aux questions 4(b), 9(a) et 11, déterminer ce qu'ils imposent quantitativement pour chacune des trois méthodes : niveau de subdivision des polygones, nombre total de termes pour la méthode analytique accélérée en reprenant la convention de comptage de la question 9(c), nombre de tirages pour Monte-Carlo avec une confiance d'au moins $95\%$.

Présenter les résultats dans un tableau puis rédiger une courte synthèse répondant aux deux questions suivantes :

• que révèle mathématiquement chacune des trois approches de $\pi$ ?
• pourquoi les trois « coûts » obtenus ne sont-ils pas directement comparables, et en quoi une borne d'erreur déterministe diffère-t-elle d'un contrôle probabiliste du risque ?