Ce que cache (1+i)^n

On part d'une puissance qui paraît très simple. En la regardant de plusieurs façons, on va faire apparaître une structure qu'un calcul direct laisse difficilement deviner.

Dans tout le problème, on utilise seulement les premières règles de calcul sur les nombres complexes, en particulier $i^2=-1$.

I — Une puissance à observer

1. Calculer sous forme algébrique

$$(1+i),\qquad (1+i)^2,\qquad (1+i)^3,\qquad (1+i)^4.$$

Sans recommencer les calculs depuis le début, en déduire ensuite

$$(1+i)^5,\qquad (1+i)^6,\qquad (1+i)^7,\qquad (1+i)^8.$$

Conjecturer une relation simple entre $(1+i)^{n+4}$ et $(1+i)^n$.

Pour tout entier naturel $n$, on écrit désormais

$$(1+i)^n=A_n+iB_n,$$

où $A_n$ et $B_n$ sont réels.

2. Démontrer la relation conjecturée à la question précédente. Tout entier naturel $n$ peut s'écrire

$$n=4q+r,\qquad q\in\mathbb N,\quad r\in\{0,1,2,3\}.$$

Déterminer $(1+i)^n$, puis $A_n$ et $B_n$, dans chacun des quatre cas possibles pour $r$.

II — La même puissance, autrement

On pourra utiliser la formule du binôme de Newton :

$$(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom nk a^{\,n-k}b^k.$$

Pour tout $n\in\mathbb N$, on note

$$S_n=\binom n0-\binom n2+\binom n4-\binom n6+\cdots$$

la somme obtenue en conservant les indices pairs inférieurs ou égaux à $n$, et

$$T_n=\binom n1-\binom n3+\binom n5-\binom n7+\cdots$$

la somme analogue portant sur les indices impairs. On convient que $T_0=0$.

3. Développer $(1+i)^n$ à l'aide de la formule du binôme de Newton, puis regrouper les termes selon la parité de leur indice. Démontrer que, pour tout $n\in\mathbb N$,

$$A_n=S_n\qquad\text{et}\qquad B_n=T_n.$$

4. En confrontant les deux façons de calculer $(1+i)^n$, déterminer exactement $S_n$ et $T_n$ lorsque

$$n=4q,\qquad 4q+1,\qquad 4q+2,\qquad 4q+3.$$

III — Deux sommes, une seule identité

5. En utilisant $(1+i)^{n+1}$, exprimer $A_{n+1}$ et $B_{n+1}$ en fonction de $A_n$ et $B_n$. En déduire que la suite

$$C_n=A_n^2+B_n^2$$

est géométrique, puis déterminer $C_n$. Traduire le résultat obtenu à l'aide de $S_n$ et $T_n$.

Prérequis pour la partie IV. Cette partie suppose connu le chapitre de dénombrement de Terminale spécialité mathématiques : coefficients binomiaux et nombre de parties d'un ensemble fini.

IV — Ce que comptent ces sommes

Soit $n\ge 2$ et soit $E$ un ensemble à $n$ éléments. Pour $r\in\{0,1,2,3\}$, on note $N_r$ le nombre de parties de $E$ dont le cardinal est de la forme $4q+r$, avec $q\in\mathbb N$.

(a) À l'aide de la signification combinatoire de $\binom nk$, montrer que

$$S_n=N_0-N_2\qquad\text{et}\qquad T_n=N_1-N_3.$$

(b) Fixer un élément $x\in E$. À chaque partie de $E$ ne contenant pas $x$, associer la partie obtenue en lui ajoutant $x$. Expliquer pourquoi cela permet de partager les parties de $E$ en paires formées d'une partie de cardinal pair et d'une partie de cardinal impair. En déduire que

$$N_0+N_2=N_1+N_3=2^{n-1}.$$

(c) Exprimer chacun des quatre nombres $N_0,N_1,N_2,N_3$ en fonction de $S_n$, $T_n$ et d'une puissance de $2$.

(d) Réécrire l'identité obtenue à la question 5 uniquement à l'aide de $N_0,N_1,N_2,N_3$. Que représente le membre de droite ? Que mesurent les deux différences qui apparaissent dans le membre de gauche ?

V — Un ensemble de 1000 éléments

(a) Sans calculer individuellement aucun coefficient binomial, déterminer exactement

$$\Sigma=\binom{1000}{0}-\binom{1000}{2}+\binom{1000}{4}-\cdots+\binom{1000}{1000}$$

et

$$\Theta=\binom{1000}{1}-\binom{1000}{3}+\binom{1000}{5}-\cdots-\binom{1000}{999}.$$

(b) On considère maintenant un ensemble à $1000$ éléments. Déterminer exactement le nombre de ses parties dont le cardinal est de la forme $4q$, $4q+1$, $4q+2$ puis $4q+3$.