Devoirs maison de maths en Terminale · maths expertes

Euclide, nombres de Fermat et facteurs premiers distincts

Deux mécanismes pour prouver l’infinité des nombres premiers : la construction d’Euclide, puis les nombres de Fermat, leur coprimalité deux à deux et l’abstraction vers toute suite infinie d’entiers deux à deux premiers entre eux.

Des premières puissances complexes à de grandes sommes de coefficients binomiaux

Un problème de début de Maths expertes qui part des seules règles algébriques sur les nombres complexes pour étudier (1+i)^n, faire apparaître deux sommes alternées de coefficients binomiaux, puis leur donner une interprétation combinatoire et calculer exactement le cas n=1000.

Une équation cubique à trois solutions réelles qui fait apparaître les nombres complexes

À partir de x³−15x−4=0, ce problème reconstruit une version élémentaire de la méthode des cubiques : la substitution x=u+v ramène le calcul à une équation du second degré, fait apparaître 2±11i, puis les complexes se recombinent pour retrouver trois solutions entièrement réelles. Le corrigé replace ce phénomène dans l’histoire de del Ferro, Tartaglia, Cardano et Bombelli.

Une base complexe −1+i avec les seuls chiffres 0 et 1

Ce problème construit une numération binaire complexe en base −1+i. À partir des puissances de la base et d’un critère de parité, l’élève découvre un algorithme de conversion des entiers de Gauss, démontre sa terminaison par blocs de quatre puis prouve l’unicité de l’écriture avec les seuls chiffres 0 et 1.

Comment décomposer une suite périodique en oscillations élémentaires, puis la reconstruire exactement ?

Un DM de Terminale maths expertes qui part des racines de l’unité pour construire la transformée de Fourier discrète d’une suite périodique. Les élèves établissent la formule de reconstruction et une identité de Parseval, puis découvrent un principe d’incertitude discret reliant la concentration d’une suite à celle de ses fréquences, avec une ouverture précise vers le principe d’incertitude de Heisenberg en physique quantique.