Probabilités conditionnelles en Seconde : définition et méthode

Que signifie « sachant que » ?

Une probabilité conditionnelle répond à une question où l’on dispose déjà d’une information. Si $A$ et $B$ sont deux évènements et si $P(A)>0$, la probabilité de $B$ sachant que $A$ est réalisé est notée

$$P_A(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}.$$

L’idée est de ne plus regarder tout l’univers : on se limite aux situations où $A$ est vrai, puis on cherche la proportion de celles où $B$ est également vrai.

Cette lecture est essentielle. La formule n’est pas un simple quotient à mémoriser : son dénominateur indique le nouvel ensemble de référence.

Exemple avec un tableau d’effectifs

Dans un groupe de 200 élèves, 80 pratiquent une activité sportive en club. Parmi ces 80 élèves, 30 utilisent aussi régulièrement le vélo pour venir en cours.

Notons $A$ l’évènement « l’élève pratique un sport en club » et $B$ l’évènement « l’élève vient régulièrement à vélo ». Si un élève est choisi au hasard parmi les 200, alors

$$P_A(B)=\frac{30}{80}=0{,}375.$$

On divise par $80$ et non par $200$, parce que la question porte sur les élèves sachant qu’ils appartiennent déjà à $A$.

Cette logique permet de passer naturellement d’un tableau croisé d’effectifs à une probabilité conditionnelle.

Ne pas confondre $P_A(B)$ et $P_B(A)$

L’ordre du conditionnement change la question. $P_A(B)$ signifie « probabilité de $B$ sachant $A$ », alors que $P_B(A)$ signifie « probabilité de $A$ sachant $B$ ».

Les deux valeurs peuvent être très différentes. C’est une source classique d’erreurs dans des situations de dépistage, de faux positifs ou de statistiques portant sur deux catégories.

Une bonne habitude consiste à traduire la notation en français avant de calculer : parmi les personnes qui vérifient quelle condition, quelle proportion vérifie l’autre ?

Lire un arbre de probabilités

Le programme demande également de construire et d’interpréter des arbres pondérés. Une branche issue de $A$ portant la valeur $P_A(B)$ représente la probabilité de suivre cette branche une fois que l’on sait que $A$ s’est produit.

Sur un chemin, la multiplication des probabilités des branches correspond à la probabilité de l’intersection. Ainsi,

$$P(A\cap B)=P(A)\times P_A(B).$$

Cette relation est exactement la formule précédente réécrite. Comprendre ce lien évite de traiter le tableau et l’arbre comme deux méthodes sans rapport.

Jusqu’où va le programme de Seconde en 2026 ?

Le nouveau programme de Seconde demande de calculer des probabilités conditionnelles à partir de tableaux ou d’arbres, d’interpréter les pondérations et de distinguer les conditionnements inverses.

Il précise en revanche que le calcul de la probabilité d’un évènement à partir de ses probabilités conditionnelles relatives à une partition de l’univers n’est pas un attendu de Seconde. Cette étape correspond à un usage plus général de la formule des probabilités totales, qui sera développée ensuite.

Il est donc utile de maîtriser parfaitement le sens de $P_A(B)$, les tableaux et les chemins d’un arbre avant de chercher à anticiper des techniques qui ne sont pas encore exigées à ce niveau.