Une marche aléatoire dans un cube

Un marcheur se déplace uniquement sur les sommets d’un cube. À chaque étape, il choisit au hasard l’une des trois arêtes issues du sommet où il se trouve, chacune avec la probabilité $1/3$, indépendamment des choix précédents, puis rejoint l’autre extrémité de cette arête.

On place le cube dans un repère orthonormé : ses sommets ont pour coordonnées les triplets $(x,y,z)$ avec $x,y,z\in\{0,1\}$. Le marcheur part du sommet

$$O=(0,0,0)$$

et l’on s’intéresse au sommet opposé

$$S=(1,1,1).$$

On note $X_n$ le sommet occupé après $n$ étapes, avec $X_0=O$. Tout sera construit à partir du cube, des probabilités conditionnelles et des suites.

I — Du cube aux quatre niveaux

1. Soit $V=(x,y,z)$ un sommet du cube.

(a) Justifier que deux sommets sont reliés par une arête si et seulement si leurs coordonnées diffèrent exactement en une position. En déduire une description simple d’une étape de la marche en termes de coordonnées.

(b) On note $\delta(V)$ le nombre minimal d’arêtes à parcourir pour aller de $O$ à $V$. Montrer que

$$\delta(V)=x+y+z.$$

(c) Relier la distance euclidienne $OV$ à $\delta(V)$.

2. Pour $k\in\{0,1,2,3\}$, on pose

$$\mathcal C_k=\{V\text{ sommet du cube}\mid \delta(V)=k\}.$$

(a) Déterminer explicitement les quatre ensembles $\mathcal C_0,\mathcal C_1,\mathcal C_2,\mathcal C_3$ et leurs nombres d’éléments.

(b) Une permutation des trois coordonnées $(x,y,z)$ conserve le cube et fixe $O$ ainsi que $S$. Montrer que deux sommets appartenant à un même $\mathcal C_k$ se déduisent l’un de l’autre par une telle permutation. Expliquer pourquoi ils ont alors le même comportement probabiliste vis-à-vis de $O$ et de $S$.

3. On pose désormais

$$D_n=\delta(X_n).$$

Sachant que $D_n=k$, déterminer les valeurs possibles de $D_{n+1}$ et leurs probabilités. Décrire le résultat pour chacun des quatre niveaux $0,1,2,3$.

(a) Montrer que $D_n$ a toujours la même parité que $n$.

(b) Déterminer la loi de $D_2$, puis celle de $D_3$. En déduire la valeur de $\mathbb P(X_3=S)$.

(c) Retrouver cette probabilité directement par dénombrement des suites de trois choix de coordonnées.

II — Où est le marcheur après $n$ étapes ?

5. Pour $k\geqslant0$, on définit

$$q_k=\mathbb P(X_{2k+1}=S).$$

Exprimer $q_{k+1}$ en fonction de $q_k$, puis déterminer explicitement $q_k$ pour tout $k\geqslant0$.

(a) En déduire une formule de $\mathbb P(X_n=S)$ valable pour tout entier $n\geqslant0$.

(b) Vérifier que cette formule redonne le résultat de la question 4 pour $n=3$, puis calculer $\mathbb P(X_5=S)$.

(c) Étudier la convergence de la suite $\bigl(\mathbb P(X_n=S)\bigr)_{n\geqslant0}$. Interpréter géométriquement la limite obtenue aux instants impairs à l’aide des symétries du cube.

III — Être au sommet opposé, ou l’atteindre pour la première fois

7. On note $T$ le nombre d’étapes nécessaires pour atteindre $S$ pour la première fois :

$$T=\min\{n\geqslant0\mid X_n=S\}.$$

(a) Montrer que $T\geqslant3$ et que $T$ est nécessairement impair.

(b) Déterminer $\mathbb P(T=3)$.

(c) Expliquer pourquoi, pour un instant impair $n>3$, les événements $\{T=n\}$ et $\{X_n=S\}$ sont différents.

8. Déterminer la loi de $T$, c’est-à-dire calculer

$$\mathbb P(T=2k+1)$$

pour tout entier $k\geqslant1$.

9. Pour $k\in\{0,1,2,3\}$, on note $m_k$ le nombre moyen d’étapes supplémentaires nécessaires pour atteindre $S$ lorsque le marcheur se trouve dans un sommet de $\mathcal C_k$. On admet que ces nombres sont finis.

(a) Justifier que $m_k$ ne dépend que du niveau $k$ et que $m_3=0$.

(b) À partir des résultats de la question 3, établir les relations vérifiées par $m_0,m_1,m_2,m_3$.

(c) Déterminer $m_0,m_1,m_2$ et en déduire le nombre moyen d’étapes nécessaires pour atteindre $S$ lorsque le marcheur part de $O$.

Le cube possède huit sommets, mais ses symétries permettent de ramener l’étude à quatre niveaux. Cette réduction suffit à déterminer exactement la position du marcheur à tout instant, la loi de sa première arrivée au sommet opposé et le nombre moyen d’étapes nécessaire pour l’atteindre.