Dénombrement en Terminale : permutations, combinaisons et méthodes

Commencer par identifier les objets

Avant toute formule, il faut répondre à quelques questions : l’ordre compte-t-il ? Peut-on répéter un élément ? Combien de positions faut-il remplir ? Les choix sont-ils indépendants ou existe-t-il des contraintes ?

Cette analyse distingue par exemple une liste ordonnée de $k$ éléments d’une partie contenant $k$ éléments. Les deux problèmes peuvent utiliser les mêmes données mais ne comptent pas les mêmes objets.

Principes additif et multiplicatif

Si plusieurs cas sont disjoints, on peut additionner leurs nombres de possibilités. Si une construction se fait en étapes successives avec un nombre connu de choix à chaque étape, on multiplie les nombres de choix.

Ces deux principes sont plus fondamentaux que les formules spécialisées. Ils permettent de reconstruire de nombreux dénombrements et de vérifier qu’un résultat est plausible.

Permutations et combinaisons

Le nombre de permutations d’un ensemble à $n$ éléments est $n!$. Le nombre de parties à $k$ éléments parmi $n$ est le coefficient binomial

$\binom nk=\frac{n!}{k!(n-k)!}.$

Une combinaison ne tient pas compte de l’ordre. Choisir trois élèves parmi dix et désigner successivement un président, un secrétaire et un trésorier sont donc deux problèmes différents.

Le triangle de Pascal

Les coefficients binomiaux vérifient la relation de Pascal

$\binom nk=\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k}.$

Elle possède une interprétation combinatoire : pour compter les parties de taille $k$, on sépare celles qui contiennent un élément fixé et celles qui ne le contiennent pas.

Dénombrement et probabilités

Le dénombrement intervient naturellement dans les univers équiprobables et dans la loi binomiale. Mais compter les cas favorables sur les cas possibles n’est valable directement que lorsque les issues considérées sont équiprobables. La combinatoire fournit le nombre d’objets ; le modèle probabiliste détermine ensuite comment leur attribuer des probabilités.