Loi binomiale en Terminale : schéma de Bernoulli et probabilités

Quand peut-on utiliser une loi binomiale ?

On répète $n$ fois une même épreuve de Bernoulli, avec deux issues appelées succès et échec, les répétitions étant indépendantes et la probabilité de succès restant égale à $p$.

Si $X$ compte le nombre de succès, alors $X$ suit la loi binomiale $\mathcal B(n,p)$. Vérifier ces hypothèses est indispensable : une succession d’épreuves n’est pas automatiquement un schéma binomial.

Calculer $P(X=k)$

Pour obtenir exactement $k$ succès parmi $n$ essais,

$P(X=k)=\binom nk p^k(1-p)^{n-k}.$

Le facteur $p^k(1-p)^{n-k}$ est la probabilité d’une suite particulière contenant $k$ succès. Le coefficient $\binom nk$ compte les positions possibles de ces succès. La formule combine donc probabilité et dénombrement.

Probabilités cumulées et problèmes de seuil

On demande souvent $P(X\le k)$, $P(X\ge k)$ ou la probabilité que $X$ appartienne à un intervalle. Il faut traduire correctement la phrase avant d’utiliser la calculatrice ou un algorithme.

Pour un « au moins », le complément peut être plus simple : $P(X\ge1)=1-P(X=0)$. Cette stratégie évite parfois une longue somme.

Espérance et variance

Pour $X\sim\mathcal B(n,p)$,

$E(X)=np,\qquad \operatorname{Var}(X)=np(1-p).$

L’espérance représente le nombre moyen théorique de succès sur de nombreuses répétitions de l’expérience complète. Elle ne garantit pas que $np$ soit un résultat effectivement observé lors d’une série particulière.

Les erreurs qui changent le modèle

Une probabilité de succès qui varie d’un essai à l’autre, ou des essais dépendants, empêchent d’utiliser directement une loi binomiale. De même, $n$ est le nombre d’essais et $k$ le nombre de succès : intervertir ces paramètres produit une formule sans sens.

La meilleure habitude est donc d’écrire en une phrase ce que sont une épreuve, le succès, $n$, $p$ et la variable $X$ avant de calculer.