Racines de l’unité, polynôme minimal et matrices d’ordre fini

Les solutions relient les racines de l'unité aux polynômes annulateurs, au polynôme minimal, à la diagonalisabilité et aux matrices réelles d'ordre fini.

I — Racines de l'unité

1.

L'équation $z^6=1$ donne

$$z=e^{ik\pi/3},\qquad k=0,\ldots,5.$$

Les six racines sont donc

$$1,\quad e^{i\pi/3},\quad e^{2i\pi/3},\quad -1,\quad e^{-2i\pi/3},\quad e^{-i\pi/3}.$$

Dans $\mathbb C[X]$,

$$X^6-1=\prod_{k=0}^{5}\left(X-e^{ik\pi/3}\right).$$

On regroupe les racines conjuguées :

$$(X-e^{i\pi/3})(X-e^{-i\pi/3})=X^2-X+1,$$ $$(X-e^{2i\pi/3})(X-e^{-2i\pi/3})=X^2+X+1.$$

Ainsi,

$$\boxed{X^6-1=(X-1)(X+1)(X^2-X+1)(X^2+X+1).}$$

Les deux facteurs quadratiques ont pour discriminant $-3$ ; ils sont donc irréductibles dans $\mathbb R[X]$.

2.

Les solutions de $z^m=1$ sont

$$z_k=e^{2ik\pi/m}=\omega_m^k,\qquad k=0,\ldots,m-1.$$

Si $z_k=z_\ell$, alors

$$e^{2i\pi(k-\ell)/m}=1,$$

donc $(k-\ell)/m\in\mathbb Z$. Comme $k,\ell\in\{0,\ldots,m-1\}$, on a $|k-\ell|<m$, donc $k=\ell$.

Nous avons donc $m$ racines distinctes d'un polynôme unitaire de degré $m$. Par conséquent,

$$\boxed{X^m-1=\prod_{k=0}^{m-1}(X-\omega_m^k).}$$

Toutes les racines de $X^m-1$ sont simples.

3.

On calcule

$$\begin{aligned} P_\theta(X) &=(X-e^{i\theta})(X-e^{-i\theta})\\ &=X^2-(e^{i\theta}+e^{-i\theta})X+1\\ &=X^2-2\cos\theta\,X+1. \end{aligned}$$

Son discriminant vaut

$$\Delta=4\cos^2\theta-4=-4\sin^2\theta.$$

Comme $\theta\notin\pi\mathbb Z$, on a $\sin\theta\neq0$, donc $\Delta<0$. Puisque $P_\theta$ est de degré $2$, il est irréductible dans $\mathbb R[X]$.

Si $m$ est impair, $1$ est la seule racine réelle de $X^m-1$. Les autres racines se regroupent en couples conjugués :

$$\boxed{X^m-1=(X-1)\prod_{k=1}^{(m-1)/2}P_{2k\pi/m}(X).}$$

Si $m$ est pair, $1$ et $-1$ sont les deux racines réelles :

$$\boxed{X^m-1=(X-1)(X+1)\prod_{k=1}^{m/2-1}P_{2k\pi/m}(X).}$$

Ces formules restent valables pour $m=1$ et $m=2$ grâce à la convention sur le produit vide.

II — Une relation polynomiale satisfaite par une matrice

4.

Comme $Av=\lambda v$, une récurrence donne

$$A^kv=\lambda^kv$$

pour tout $k\geqslant0$. Par conséquent,

$$P(A)v=\sum_{k=0}^{n}a_kA^kv =\sum_{k=0}^{n}a_k\lambda^kv =P(\lambda)v.$$

Ainsi,

$$\boxed{P(A)v=P(\lambda)v.}$$

Si $P(A)=0$, alors $P(\lambda)v=0$. Comme $v\neq0$,

$$P(\lambda)=0.$$

Toute valeur propre de $A$ est donc une racine de tout polynôme annulateur de $A$.

Si $A^m=I_d$, le polynôme $X^m-1$ annule $A$. Toute valeur propre $\lambda$ vérifie alors

$$\boxed{\lambda^m=1.}$$

Les valeurs propres de $A$ sont donc des racines $m$-ièmes de l'unité. Cela ne signifie pas que toutes les racines $m$-ièmes de l'unité sont nécessairement valeurs propres de $A$.

III — Le polynôme minimal

5.

L'espace vectoriel $M_d(\mathbb K)$ est de dimension $d^2$. La famille

$$I_d,A,A^2,\ldots,A^{d^2}$$

contient $d^2+1$ éléments ; elle est donc liée. Il existe des scalaires $a_0,\ldots,a_{d^2}$, non tous nuls, tels que

$$a_0I_d+a_1A+\cdots+a_{d^2}A^{d^2}=0.$$

Le polynôme non nul

$$P(X)=a_0+a_1X+\cdots+a_{d^2}X^{d^2}$$

vérifie alors $P(A)=0$.

6.

Soit $P$ un polynôme annulateur de $A$. Effectuons sa division euclidienne par $\mu_A$ :

$$P=Q\mu_A+R, \qquad R=0\quad\text{ou}\quad\deg R<\deg\mu_A.$$

En évaluant en $A$,

$$0=P(A)=Q(A)\mu_A(A)+R(A)=R(A).$$

Si $R\neq0$, alors $R$ serait un polynôme annulateur non nul de degré strictement inférieur à celui de $\mu_A$, contradiction. Ainsi $R=0$, donc

$$\boxed{\mu_A\mid P.}$$

Si $\nu$ est un autre polynôme unitaire annulateur de degré minimal, alors $\mu_A\mid\nu$. Les deux polynômes ont le même degré et sont unitaires, donc $\nu=\mu_A$. Le polynôme minimal est unique.

7.

Pour

$$D=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix},$$

on a $D^2=I_2$, donc $(D-I_2)(D+I_2)=0$. Ainsi $\mu_D\mid X^2-1$.

Un polynôme unitaire de degré $1$ annihilant $D$ serait de la forme $X-a$, ce qui imposerait $D=aI_2$, impossible. Donc

$$\boxed{\mu_D=X^2-1.}$$

Pour

$$J=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix},$$

on a

$$J-I_2=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}\neq0, \qquad (J-I_2)^2=0.$$

Ainsi

$$\boxed{\mu_J=(X-1)^2.}$$

Ces exemples montrent qu'un polynôme annulateur n'est pas automatiquement le polynôme minimal : tout multiple de $\mu_A$ est encore annulateur.

IV — Quand un polynôme force la diagonalisabilité

8.

Pour $k\in\{1,\ldots,s\}$,

$$L_j(\lambda_k)= \begin{cases} 1,&j=k,\\ 0,&j\neq k. \end{cases}$$

Le polynôme

$$S(X)=\sum_{j=1}^{s}L_j(X)-1$$

est de degré au plus $s-1$ et possède les $s$ racines distinctes $\lambda_1,\ldots,\lambda_s$. Il est donc nul :

$$\boxed{\sum_{j=1}^{s}L_j=1.}$$

De plus,

$$(X-\lambda_j)L_j(X) = \frac{P(X)}{\displaystyle\prod_{\ell\neq j}(\lambda_j-\lambda_\ell)}.$$

Le dénominateur est non nul. En évaluant en $A$,

$$(A-\lambda_jI_d)L_j(A)=0,$$

donc

$$\operatorname{Im}L_j(A)\subset\ker(A-\lambda_jI_d).$$

Enfin,

$$I_d=\sum_{j=1}^{s}L_j(A).$$

Pour tout $x\in\mathbb C^d$,

$$x=\sum_{j=1}^{s}L_j(A)x,$$

et chaque terme appartient à un espace propre de $A$. La somme des espaces propres est donc égale à $\mathbb C^d$. Comme les espaces propres associés à des valeurs propres distinctes sont en somme directe, la concaténation d'une base de chacun de ces espaces propres fournit une base de $\mathbb C^d$ formée de vecteurs propres. Ainsi

$$\boxed{A\text{ est diagonalisable sur }\mathbb C.}$$

9.

Supposons $A$ diagonalisable, de valeurs propres distinctes $\lambda_1,\ldots,\lambda_s$, et posons

$$P(X)=\prod_{j=1}^{s}(X-\lambda_j).$$

Dans une base de vecteurs propres, $P(A)$ est diagonale et ses coefficients diagonaux sont les $P(\lambda_j)$, tous nuls. Ainsi $P(A)=0$, donc $\mu_A\mid P$.

Réciproquement, pour chaque $j$, choisissons un vecteur propre $v_j\neq0$ associé à $\lambda_j$. Comme

$$\mu_A(A)v_j=\mu_A(\lambda_j)v_j=0,$$

on obtient $\mu_A(\lambda_j)=0$. Chaque $X-\lambda_j$ divise donc $\mu_A$ et, les $\lambda_j$ étant distincts,

$$P\mid\mu_A.$$

Finalement,

$$\boxed{\mu_A(X)=\prod_{j=1}^{s}(X-\lambda_j).}$$

Le polynôme minimal d'une matrice diagonalisable est donc scindé à racines simples. La réciproque résulte de la question 8 puisque $\mu_A(A)=0$. Ainsi,

$$\boxed{A\text{ diagonalisable sur }\mathbb C \iff \mu_A\text{ scindé sur }\mathbb C\text{ à racines simples}.}$$

V — Matrices d'ordre fini

10.

Soit $r$ l'ordre de $A$. Alors $A^r=I_d$, donc $X^r-1$ est un polynôme annulateur de $A$.

D'après la partie I, il est scindé sur $\mathbb C$ et ses racines sont simples. La question 8 donne alors

$$\boxed{A\text{ est diagonalisable sur }\mathbb C.}$$

D'autre part, pour toute valeur propre $\lambda$, la question 4 donne

$$\lambda^r=1.$$

Ainsi,

$$\boxed{\operatorname{Sp}(A)\subset\{z\in\mathbb C:z^r=1\}.}$$

Toutes les valeurs propres de $A$ sont donc des racines de l'unité.

11.

Comme $X^r-1$ annule $A$, la propriété caractéristique du polynôme minimal donne

$$\mu_A\mid X^r-1 \qquad\text{dans }\mathbb K[X].$$

Il reste à vérifier que $X^r-1$ ne contient aucun facteur irréductible répété dans $\mathbb K[X]$.

Supposons qu'un polynôme non constant $Q$ vérifie $Q^2\mid X^r-1$. En écrivant $X^r-1=Q^2R$ puis en dérivant, on voit que $Q$ divise aussi $rX^{r-1}$. Or

$$(X^r-1)-\frac Xr\,rX^{r-1}=-1.$$

Un polynôme non constant ne peut donc diviser simultanément $X^r-1$ et sa dérivée. Ainsi $X^r-1$ est sans facteur carré dans $\mathbb K[X]$.

Tout diviseur de $X^r-1$, et en particulier $\mu_A$, est donc un produit de polynômes irréductibles unitaires deux à deux distincts.

12.

Puisque $A$ est diagonalisable sur $\mathbb C$, il existe $S\in GL_d(\mathbb C)$ tel que

$$A=SDS^{-1}, \qquad D=\operatorname{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_d).$$

Pour tout $m\geqslant1$,

$$A^m=I_d \iff D^m=I_d \iff \lambda_j^m=1\quad\text{pour tout }j.$$

Par définition de $n_j$,

$$\lambda_j^m=1\iff n_j\mid m.$$

Le plus petit entier divisible par tous les $n_j$ est leur ppcm. Par conséquent,

$$\boxed{\operatorname{ord}(A)=\operatorname{ppcm}(n_1,\ldots,n_d).}$$

13.

Supposons

$$A=SDS^{-1}, \qquad D=\operatorname{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_d),$$

et supposons chaque $\lambda_j$ racine de l'unité. Notons $n_j$ son ordre et

$$N=\operatorname{ppcm}(n_1,\ldots,n_d).$$

Alors $\lambda_j^N=1$ pour tout $j$, donc $D^N=I_d$ et

$$A^N=SD^NS^{-1}=I_d.$$

Ainsi $A$ est d'ordre fini. On obtient la caractérisation

$$\boxed{A\in GL_d(\mathbb C)\text{ est d'ordre fini} \iff A\text{ est diagonalisable et toutes ses valeurs propres sont des racines de l'unité}.}$$

VI — Le cas réel et les rotations

14.

Un calcul direct, ou la formule $R_\theta R_\varphi=R_{\theta+\varphi}$, donne

$$R_\theta^2-2\cos\theta\,R_\theta+I_2=0.$$

Le polynôme

$$P_\theta=X^2-2\cos\theta\,X+1$$

annule donc $R_\theta$. Comme $\theta\notin\pi\mathbb Z$, on a $\sin\theta\neq0$, donc $R_\theta$ n'est pas scalaire. Aucun polynôme unitaire de degré $1$ ne peut l'annuler. Ainsi

$$\boxed{\mu_{R_\theta}=X^2-2\cos\theta\,X+1.}$$

Prenons $v\in\mathbb R^2\setminus\{0\}$. On calcule

$$\det(v,R_\theta v)=\|v\|^2\sin\theta\neq0.$$

La famille $\mathcal B=(v,R_\theta v)$ est donc une base de $\mathbb R^2$. La relation précédente donne

$$R_\theta(R_\theta v)=-v+2\cos\theta\,R_\theta v.$$

Dans la base $\mathcal B$,

$$[R_\theta]_{\mathcal B} = \boxed{\begin{pmatrix}0&-1\\1&2\cos\theta\end{pmatrix}.}$$

L'égalité de deux polynômes minimaux ne suffit pas, en général, à conclure que deux matrices sont semblables ; ici, la similitude est obtenue par la construction explicite d'une base.

15.

Soit $r$ l'ordre de $A$. On sait que

$$\mu_A\mid X^r-1 \qquad\text{dans }\mathbb R[X].$$

D'après la partie I, les facteurs irréductibles réels de $X^r-1$ sont éventuellement $X-1$, éventuellement $X+1$, et les polynômes

$$X^2-2\cos\left(\frac{2k\pi}{r}\right)X+1$$

correspondant aux couples de racines non réelles conjuguées. De plus, $X^r-1$ n'a aucun facteur répété. Le polynôme minimal, qui en est un diviseur, est donc un produit d'un sous-ensemble de ces facteurs.

En choisissant pour chaque couple conjugué l'unique angle dans $(0,\pi)$, on obtient

$$\boxed{ \mu_A(X) =(X-1)^{\varepsilon_+}(X+1)^{\varepsilon_-} \prod_{j=1}^{q}(X^2-2\cos\theta_j\,X+1), }$$

avec

$$\varepsilon_+,\varepsilon_-\in\{0,1\}, \qquad \theta_j\in(0,\pi)\cap2\pi\mathbb Q,$$

et les $\theta_j$ deux à deux distincts.

16.

Soit $A\in GL_2(\mathbb R)$ d'ordre fini. D'après la question 10, $A$ est diagonalisable sur $\mathbb C$ et ses valeurs propres sont des racines de l'unité.

Premier cas : les valeurs propres sont réelles. Les seules racines de l'unité réelles sont $1$ et $-1$. Puisque $A$ est diagonalisable, trois possibilités subsistent :

$$A=I_2, \qquad A=-I_2, \qquad A\sim\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}.$$

Or $I_2=R_0$ et $-I_2=R_\pi$.

Second cas : $A$ possède une valeur propre non réelle. Comme les valeurs propres non réelles d'une matrice réelle viennent par paires conjuguées, on peut choisir

$$\lambda=e^{i\theta}, \qquad \theta\in(0,\pi).$$

Puisque $\lambda$ est une racine de l'unité,

$$\theta\in2\pi\mathbb Q.$$

Prenons un vecteur propre complexe $z=u+iv\neq0$ associé à $\lambda$, avec $u,v\in\mathbb R^2$. De

$$A(u+iv)=(\cos\theta+i\sin\theta)(u+iv)$$

on tire

$$Au=\cos\theta\,u-\sin\theta\,v,$$ $$Av=\sin\theta\,u+\cos\theta\,v.$$

Les vecteurs $u$ et $v$ sont indépendants. En effet, s'ils étaient liés, $z$ serait un multiple complexe non nul d'un vecteur réel $w\neq0$ ; l'égalité $Az=\lambda z$ entraînerait alors $Aw=\lambda w$, impossible puisque $Aw$ est réel et $\lambda\notin\mathbb R$.

Dans la base $(u,-v)$, la matrice de $A$ est

$$R_\theta.$$

Ainsi $A$ est semblable à une rotation d'angle appartenant à $(0,\pi)\cap2\pi\mathbb Q$.

Réciproquement,

$$\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}^{\!2}=I_2,$$

et

$$R_\theta^m=R_{m\theta}.$$

Une rotation $R_\theta$ est donc d'ordre fini si et seulement si $\theta/(2\pi)\in\mathbb Q$.

Enfin,

$$\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}$$

a pour déterminant $-1$, tandis que toutes les rotations ont déterminant $1$. De plus, pour $\theta,\varphi\in[0,\pi]$, deux rotations semblables ont la même trace, donc

$$2\cos\theta=2\cos\varphi,$$

et la stricte décroissance du cosinus sur $[0,\pi]$ donne $\theta=\varphi$.

On obtient donc une famille sans doublons de représentants des classes de similitude :

$$\boxed{ \begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix} \quad\text{et}\quad R_\theta\ \text{pour }\theta\in[0,\pi]\cap2\pi\mathbb Q. }$$

Retour vers le sujet d'agrégation 2025

Les questions suivantes de la première épreuve écrite de l'agrégation interne de mathématiques 2025 mobilisent directement les résultats établis ici :

• questions 8 et 9 : factorisation de $X^n-1$ sur $\mathbb C$ et $\mathbb R$ ;
• questions 12 et 13 : diagonalisation et polynôme minimal des matrices d'ordre fini ;
• question 20(b) : ordre d'une matrice à partir des ordres de ses valeurs propres ;
• question 21 : rotation, polynôme minimal et matrice compagnon ;
• question 22 : forme du polynôme minimal dans le cas réel ;
• question 25 : classification en dimension $2$.

Les questions 23 et 24 prolongent ces idées en dimension quelconque en décrivant des formes diagonales par blocs et l'ordre des matrices réelles d'ordre fini.

Sources

[SOURCE] Agrégation interne de mathématiques — session 2025 — première épreuve écrite. Lien direct