Racines de l’unité, polynôme minimal et matrices d’ordre fini

Soit $\mathbb K\in\{\mathbb Q,\mathbb R,\mathbb C\}$. On note $M_d(\mathbb K)$ l'ensemble des matrices carrées de taille $d$ à coefficients dans $\mathbb K$, et $I_d$ la matrice identité.

Une matrice $A\in GL_d(\mathbb K)$ est dite d'ordre fini lorsqu'il existe un entier $m\geqslant1$ tel que

$$A^m=I_d.$$

Son ordre est le plus petit entier $m\geqslant1$ vérifiant cette égalité.

Le problème relie cette relation aux racines de l'unité, aux polynômes annulateurs, au polynôme minimal et à la diagonalisation, puis étudie le cas réel en dimension $2$.

I — Racines de l'unité

1. Déterminer les six solutions complexes de

$$z^6=1.$$

En déduire les factorisations de $X^6-1$ dans $\mathbb C[X]$, puis dans $\mathbb R[X]$.

2. Soit $m\geqslant1$ et

$$\omega_m=e^{2i\pi/m}.$$

Déterminer toutes les racines complexes de $X^m-1$, montrer qu'elles sont deux à deux distinctes et en déduire sa factorisation dans $\mathbb C[X]$.

3. Pour $\theta\in\mathbb R\setminus\pi\mathbb Z$, on pose

$$P_\theta(X)=(X-e^{i\theta})(X-e^{-i\theta}).$$

Déterminer $P_\theta$ explicitement et montrer qu'il est irréductible dans $\mathbb R[X]$.

En regroupant les racines complexes conjuguées, factoriser $X^m-1$ dans $\mathbb R[X]$, suivant la parité de $m$.

On adoptera la convention qu'un produit portant sur un ensemble vide vaut $1$.

II — Une relation polynomiale satisfaite par une matrice

Si

$$P(X)=a_0+a_1X+\cdots+a_nX^n$$

et $A\in M_d(\mathbb K)$, on définit

$$P(A)=a_0I_d+a_1A+\cdots+a_nA^n.$$

Un polynôme non nul $P$ tel que $P(A)=0$ est appelé polynôme annulateur de $A$.

4. Soit $A\in M_d(\mathbb C)$, et soit $\lambda$ une valeur propre de $A$, associée à un vecteur propre $v\neq0$.

Montrer que, pour tout $P\in\mathbb C[X]$,

$$P(A)v=P(\lambda)v.$$

Qu'en déduit-on sur les valeurs propres de $A$ lorsque $P$ est un polynôme annulateur ?

Appliquer ce résultat au cas où $A^m=I_d$.

III — Le polynôme minimal

On pourra utiliser le fait que $M_d(\mathbb K)$ est un espace vectoriel de dimension $d^2$ sur $\mathbb K$.

5. Soit $A\in M_d(\mathbb K)$.

Montrer qu'il existe au moins un polynôme non nul $P\in\mathbb K[X]$ tel que

$$P(A)=0.$$

6. Parmi les polynômes annulateurs non nuls de $A$, on choisit un polynôme unitaire $\mu_A$ de degré minimal.

Montrer que tout polynôme annulateur de $A$ est divisible par $\mu_A$.

En déduire que $\mu_A$ est unique. On l'appelle le polynôme minimal de $A$.

7. Déterminer les polynômes minimaux des matrices

$$D=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}, \qquad J=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}.$$

Que montrent ces deux exemples sur l'information contenue dans un polynôme annulateur ?

IV — Quand un polynôme force la diagonalisabilité

Soient $\lambda_1,\ldots,\lambda_s$ des nombres complexes deux à deux distincts et

$$P(X)=\prod_{j=1}^{s}(X-\lambda_j).$$

Pour $j\in\{1,\ldots,s\}$, on pose

$$L_j(X)= \prod_{\substack{1\leqslant \ell\leqslant s\\ \ell\neq j}} \frac{X-\lambda_\ell}{\lambda_j-\lambda_\ell}.$$

8. Montrer que

$$\sum_{j=1}^{s}L_j(X)=1.$$

Soit maintenant $A\in M_d(\mathbb C)$ telle que $P(A)=0$.

Montrer que, pour tout $j$,

$$\operatorname{Im}L_j(A)\subset\ker(A-\lambda_jI_d).$$

En déduire que $A$ est diagonalisable sur $\mathbb C$.

9. Réciproquement, soit $A\in M_d(\mathbb C)$ diagonalisable et soient $\lambda_1,\ldots,\lambda_s$ ses valeurs propres distinctes.

Déterminer son polynôme minimal.

En déduire le critère suivant :

$$\boxed{A\text{ est diagonalisable sur }\mathbb C \iff \mu_A\text{ est scindé sur }\mathbb C\text{ et à racines simples}.}$$

V — Matrices d'ordre fini

Dans cette partie, $\mathbb K\in\{\mathbb Q,\mathbb R,\mathbb C\}$, et une matrice à coefficients dans $\mathbb K$ pourra naturellement être considérée comme une matrice complexe.

10. Soit $A\in GL_d(\mathbb K)$ d'ordre fini.

Démontrer que $A$ est diagonalisable sur $\mathbb C$ et que chacune de ses valeurs propres est une racine de l'unité.

11. Soit $r$ l'ordre de $A$.

Montrer que le polynôme minimal de $A$, considéré dans $\mathbb K[X]$, est un produit de polynômes irréductibles unitaires deux à deux distincts.

12. On note $\lambda_1,\ldots,\lambda_d$ les valeurs propres de $A$, répétées suivant leur multiplicité, et $n_j$ l'ordre de $\lambda_j$ dans $\mathbb C^\times$.

Exprimer l'ordre de $A$ en fonction des $n_j$.

13. Montrer réciproquement qu'une matrice complexe diagonalisable dont toutes les valeurs propres sont des racines de l'unité est d'ordre fini.

VI — Le cas réel et les rotations

Pour $\theta\in\mathbb R$, on pose

$$R_\theta= \begin{pmatrix} \cos\theta&-\sin\theta\\ \sin\theta&\cos\theta \end{pmatrix}.$$

14. On suppose $\theta\notin\pi\mathbb Z$.

Déterminer le polynôme minimal de $R_\theta$.

Montrer ensuite que $R_\theta$ est semblable sur $\mathbb R$ à

$$\begin{pmatrix} 0&-1\\ 1&2\cos\theta \end{pmatrix}.$$

15. Soit $A\in GL_d(\mathbb R)$ une matrice d'ordre fini.

Montrer que son polynôme minimal peut s'écrire

$$\mu_A(X) =(X-1)^{\varepsilon_+}(X+1)^{\varepsilon_-} \prod_{j=1}^{q}\left(X^2-2\cos\theta_j\,X+1\right),$$

où

$$\varepsilon_+,\varepsilon_-\in\{0,1\}, \qquad \theta_j\in(0,\pi)\cap2\pi\mathbb Q,$$

et où les $\theta_j$ sont deux à deux distincts.

16. Classifier, à similitude près dans $GL_2(\mathbb R)$, toutes les matrices réelles $2\times2$ d'ordre fini. Donner une famille de représentants sans doublons.