Agrégation de mathématiques · Préparation à l’agrégation interne de mathématiques
Devoirs maison de maths en Agrégation interne
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Tous les DM de Agrégation interne
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DM n°01Théorème de Cayley-Hamilton, puissances de matrices et suites récurrentes
Suites récurrentes linéaires · Matrices et endomorphismes · Polynômes d’endomorphismes · Théorème de Cayley-Hamilton · Polynôme minimal
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Théorème de Cayley-Hamilton, puissances de matrices et suites récurrentes
Suites récurrentes linéaires · Matrices et endomorphismes · Polynômes d’endomorphismes · Théorème de Cayley-Hamilton · Polynôme minimal
Relations polynomiales, réduction des puissances et récurrences linéaires
Un problème progressif de préparation à l’agrégation interne : à partir d’un système de suites accessible, on fait émerger une relation polynomiale sur une matrice, puis les polynômes d’endomorphismes, Cayley-Hamilton, la réduction de puissances et le lien général avec les suites récurrentes linéaires. La dernière partie précise le rôle du polynôme minimal et la dimension de K[u].
Prérequis : Calcul algébrique et polynômes · Suites définies par récurrence · Systèmes linéaires simples · Produit de matrices 2 × 2 · Notions élémentaires d’espace vectoriel, réactivées dans le sujet
Temps indicatif : ≈ 4 h 30
DM n°03Méthode de Newton : convergence locale et contre-exemples
Méthode de Newton · Suites et convergence · Dérivation et convexité · Estimation de l’erreur · Ordre de convergence · Contre-exemples
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Méthode de Newton : convergence locale et contre-exemples
Méthode de Newton · Suites et convergence · Dérivation et convexité · Estimation de l’erreur · Ordre de convergence · Contre-exemples
Tangentes, racines simples, estimation de l’erreur et portée des hypothèses
Un problème progressif de préparation à l’agrégation interne : à partir de la géométrie des tangentes pour x² − 2, on construit la méthode de Newton, on établit des critères de convergence et des estimations d’erreur, puis on analyse par des contre-exemples la portée exacte des résultats obtenus.
Prérequis : Dérivation et équation d’une tangente · Étude de fonctions et convexité élémentaire · Suites monotones, convergence et passage à la limite · Calcul algébrique et polynômes
Temps indicatif : ≈ 4 h 30
DM n°02Racines de l’unité, polynôme minimal et matrices d’ordre fini
Nombres complexes et racines de l’unité · Polynômes annulateurs et polynôme minimal · Valeurs propres et diagonalisabilité · Matrices d’ordre fini · Rotations et similitude réelle
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Racines de l’unité, polynôme minimal et matrices d’ordre fini
Nombres complexes et racines de l’unité · Polynômes annulateurs et polynôme minimal · Valeurs propres et diagonalisabilité · Matrices d’ordre fini · Rotations et similitude réelle
Des racines de l’unité à la classification des matrices réelles d’ordre fini en dimension 2
Une progression depuis les racines de l’unité et les polynômes annulateurs jusqu’au polynôme minimal, au critère de diagonalisabilité et à la classification, en dimension 2, des matrices réelles d’ordre fini.
Prérequis : Nombres complexes : forme exponentielle et racines de l’unité · Calcul polynomial et division euclidienne · Notions de base sur les matrices, valeurs propres et vecteurs propres
Temps indicatif : ≈ 4 h