Devoirs maison de maths en Agrégation interne

Relations polynomiales, réduction des puissances et récurrences linéaires

Un problème progressif de préparation à l’agrégation interne : à partir d’un système de suites accessible, on fait émerger une relation polynomiale sur une matrice, puis les polynômes d’endomorphismes, Cayley-Hamilton, la réduction de puissances et le lien général avec les suites récurrentes linéaires. La dernière partie précise le rôle du polynôme minimal et la dimension de K[u].

Des racines de l’unité à la classification des matrices réelles d’ordre fini en dimension 2

Une progression depuis les racines de l’unité et les polynômes annulateurs jusqu’au polynôme minimal, au critère de diagonalisabilité et à la classification, en dimension 2, des matrices réelles d’ordre fini.

Tangentes, racines simples, estimation de l’erreur et portée des hypothèses

Un problème progressif de préparation à l’agrégation interne : à partir de la géométrie des tangentes pour x² − 2, on construit la méthode de Newton, on établit des critères de convergence et des estimations d’erreur, puis on analyse par des contre-exemples la portée exacte des résultats obtenus.

Quantificateurs, norme sup, continuité, intégration, dérivation et critère de Cauchy uniforme

Une même famille de fonctions permet de comparer convergence point par point et contrôle uniforme, puis d’étudier ce que l’uniformité autorise pour la continuité, l’intégration et la dérivation. Le problème mène enfin au critère de Cauchy uniforme et à la convergence uniforme sur tout compact.

Des congruences et de Bézout à la décomposition d’un anneau en coordonnées indépendantes

Une progression depuis les congruences, le PGCD et Bézout jusqu’aux anneaux Z/nZ, à leurs éléments inversibles et diviseurs de zéro, puis au théorème des restes chinois vu comme un isomorphisme d’anneaux, avec applications à l’indicatrice d’Euler, aux idempotents et aux équations polynomiales.

De la meilleure approximation géométrique aux équations normales et à l’approximation de fonctions

Un problème progressif qui part d’un ajustement affine de trois points pour construire la projection orthogonale, interpréter géométriquement les moindres carrés et leurs équations normales, étudier les matrices de Gram, puis retrouver la même structure dans l’ajustement de données et l’approximation de fonctions.

Des changements de coordonnées aux invariants, à la loi d’inertie et à la classification complète des coniques réelles

À partir d’une famille de coniques dont les axes ne sont pas toujours visibles dans le repère initial, le problème fait émerger les matrices symétriques, la congruence, la réduction des formes quadratiques et la loi d’inertie de Sylvester. Ces outils sont ensuite combinés aux termes affines et à une matrice homogénéisée pour classifier toutes les coniques réelles, y compris les cas dégénérés.

Des caractères de ℤ/nℤ aux séries de Fourier puis à la transformée sur ℝ

Un problème de synthèse pour l’agrégation interne qui fait émerger l’analyse de Fourier à partir des translations sur un groupe cyclique, puis suit la même structure sur le cercle et sur la droite réelle. Deux ponts analytiques rigoureux relient les trois cadres avant une construction de Plancherel et l’étude de principes d’incertitude finis et continus.