Devoir maison de mathématiques · Algèbre linéaire, graphes et décomposition de Hodge
Classements et cycles cachés
Un problème de PSI qui part de comparaisons deux à deux, construit la matrice d’incidence et le laplacien, sépare score global et incohérences cycliques, puis reconstruit une décomposition de Hodge discrète.
Objectifs
Ce que ce DM fait travailler
- Traduire un graphe fini en algèbre linéaire par une matrice d’incidence
- Décomposer un flot en composante gradient et composante cyclique
- Résoudre un problème de classement par projection et équations normales
- Construire et interpréter le laplacien d’un graphe
- Faire émerger une décomposition de Hodge discrète en cycles locaux et composante harmonique
Avant de commencer
Prérequis utiles
Il n’est pas nécessaire de tout maîtriser parfaitement, mais ces notions doivent être déjà connues pour que le devoir reste un travail de raisonnement plutôt qu’un rattrapage de cours.
- Espaces vectoriels de dimension finie, noyau, image et rang
- Matrices, transposée et produit scalaire canonique
- Orthogonalité et projection orthogonale
- Aucune connaissance préalable de théorie des graphes
Méthode
Comment l’utiliser
Prévoir environ 3 h et garder une trace des essais, y compris ceux qui échouent.
Écrire une solution justifiée avant d’ouvrir le corrigé, même si certaines questions restent incomplètes.
Repérer les différences de méthode, de précision et de rédaction plutôt que seulement les résultats.