La véritable identité des nombres

I - Éléments ou ensembles ?

1. Les affirmations (a), (c), (f) et (g) sont vraies. Les autres se corrigent ainsi :

$$\begin{array}{llll} \text{(b) }5\in\mathbb N, & \text{(d) }\{5\}\subseteq\mathbb N, & \text{(e) }\mathbb N\subseteq\mathbb Z, & \text{(h) }2{,}5\notin\mathbb Z. \end{array}$$

Le symbole $\in$ relie un élément à un ensemble, tandis que $\subseteq$ relie deux ensembles. Enfin, $-3$ est bien décimal puisque

$$-3=\frac{-30}{10}.$$

2. La chaîne d'inclusions est

$$\boxed{\mathbb N\subseteq\mathbb Z\subseteq\mathbb D\subseteq\mathbb Q\subseteq\mathbb R}.$$

À ce stade, le symbole $\subseteq$ ne dit pas encore si deux ensembles consécutifs pourraient être égaux. Les questions suivantes permettent précisément de montrer qu'ils ne le sont pas.

(a) On peut écrire

$$7=\frac{70}{10} \qquad\text{et}\qquad -4=\frac{-40}{10}.$$

Ces deux écritures sont de la forme $\dfrac{a}{10^n}$ avec $a\in\mathbb Z$ et $n\in\mathbb N$. Ainsi $7$ et $-4$ sont décimaux.

(b) Pour un entier quelconque $m$, on peut faire exactement la même chose :

$$m=\frac{10m}{10}.$$

Donc tout entier est un nombre décimal, ce qui donne

$$\boxed{\mathbb Z\subseteq\mathbb D}.$$

(c) On a

$$2{,}35=\frac{235}{100}.$$

Le numérateur $235$ et le dénominateur $100$ sont des entiers et $100\neq0$. Cette écriture est donc aussi de la forme $\dfrac ab$ utilisée dans la définition d'un rationnel : $2{,}35\in\mathbb Q$.

(d) Si $x\in\mathbb D$, il existe $a\in\mathbb Z$ et $n\in\mathbb N$ tels que

$$x=\frac{a}{10^n}.$$

Or $10^n$ est un entier strictement positif, donc non nul. Cette écriture est donc un quotient de deux entiers avec un dénominateur non nul : $x\in\mathbb Q$. Ainsi

$$\boxed{\mathbb D\subseteq\mathbb Q}.$$

II - Une écriture peut en cacher une autre

4. On commence toujours par déterminer la valeur du nombre, puis on le classe.

$$\begin{array}{c|c|c|c} \text{Nombre} & \text{Valeur} & \text{Ensembles auxquels il appartient} & \text{Plus petit ensemble}\\ \hline A & 4 & \mathbb N,\mathbb Z,\mathbb D,\mathbb Q,\mathbb R & \mathbb N\\[1mm] B & -7 & \mathbb Z,\mathbb D,\mathbb Q,\mathbb R & \mathbb Z\\[1mm] C & 0{,}35 & \mathbb D,\mathbb Q,\mathbb R & \mathbb D\\[1mm] D & 0{,}625 & \mathbb D,\mathbb Q,\mathbb R & \mathbb D\\[1mm] E & 2 & \mathbb N,\mathbb Z,\mathbb D,\mathbb Q,\mathbb R & \mathbb N\\[1mm] F & -3 & \mathbb Z,\mathbb D,\mathbb Q,\mathbb R & \mathbb Z \end{array}$$

En effet,

$$-\sqrt{49}=-7,\qquad \frac7{20}=0{,}35,\qquad \frac58=0{,}625,$$ $$\frac{\sqrt{81}-5}{2}=\frac{9-5}{2}=2, \qquad -\frac{18}{6}=-3.$$

5. L'écriture $4{,}00$ contient une virgule, mais elle représente exactement le nombre $4$. Or

$$4\in\mathbb N.$$

Comme $\mathbb N$ est inclus dans tous les ensembles suivants de la chaîne, le plus petit ensemble contenant $4{,}00$ est $\mathbb N$, et non $\mathbb D$.

III - Les frontières entre les ensembles

(a) Par exemple,

$$-1\in\mathbb Z\quad\text{mais}\quad -1\notin\mathbb N.$$

On savait déjà que $\mathbb N\subseteq\mathbb Z$. Comme il existe maintenant un élément de $\mathbb Z$ qui n'appartient pas à $\mathbb N$, les deux ensembles ne sont pas égaux. Donc

$$\boxed{\mathbb N\subsetneq\mathbb Z}.$$

(b) De même,

$$\frac12=0{,}5\in\mathbb D\quad\text{mais}\quad \frac12\notin\mathbb Z.$$

Ainsi

$$\boxed{\mathbb Z\subsetneq\mathbb D}.$$

7. On sait déjà que $\dfrac13\in\mathbb Q$. Pour décider s'il est aussi décimal, on imagine provisoirement un monde où ce serait le cas.

(a) Dans ce monde, la définition d'un nombre décimal donne des entiers $a$ et $n$ tels que

$$\frac13=\frac{a}{10^n}.$$

En multipliant les deux membres par $3\times10^n$, on obtient

$$\boxed{10^n=3a}.$$

(b) L'égalité $10^n=3a$ signifie que $10^n$ est un multiple de $3$. Dans le monde provisoire, on est donc conduit à conclure que $10^n$ est divisible par $3$.

(c) $10^n$ est un $1$ suivi de $n$ zéros. La somme de ses chiffres vaut donc $1$. D'après le critère de divisibilité par $3$, $10^n$ n'est pas divisible par $3$. On obtient donc deux conclusions incompatibles : $10^n$ serait à la fois divisible et non divisible par $3$.

(d) Cette contradiction ne vient pas d'une erreur de calcul : elle montre que le monde provisoire construit au départ est impossible. L'hypothèse $\dfrac13\in\mathbb D$ est donc fausse. Ainsi

$$\frac13\notin\mathbb D.$$

Comme $\dfrac13\in\mathbb Q$, il existe un rationnel qui n'est pas décimal. Par conséquent

$$\boxed{\mathbb D\subsetneq\mathbb Q}.$$

8. Le nombre $\sqrt2$ est un réel et l'on admet qu'il n'est pas rationnel. Il existe donc un élément de $\mathbb R$ qui n'appartient pas à $\mathbb Q$. Comme $\mathbb Q\subseteq\mathbb R$, on en déduit

$$\boxed{\mathbb Q\subsetneq\mathbb R}.$$

On peut maintenant réunir les quatre frontières :

$$\boxed{\mathbb N\subsetneq\mathbb Z\subsetneq\mathbb D\subsetneq\mathbb Q\subsetneq\mathbb R}.$$

Des témoins possibles sont respectivement

$$-1,\qquad \frac12,\qquad \frac13,\qquad \sqrt2.$$

À chaque fois, le nombre appartient à l'ensemble situé à droite de la frontière, mais pas à celui situé à gauche.

IV - Une écriture infinie

(a) On a

$$d_1=\frac9{10}=1-\frac1{10},\qquad d_2=\frac{99}{100}=1-\frac1{100},$$ $$d_3=\frac{999}{1000}=1-\frac1{1000}.$$

(b) Ces trois exemples conduisent naturellement à proposer

$$\boxed{d_n=1-\frac1{10^n}}.$$

(c) Le nombre $d_n$ s'écrit

$$d_n=\frac{\underbrace{99\ldots9}_{n\text{ chiffres }9}}{10^n}.$$

L'entier du numérateur vaut $10^n-1$, donc

$$d_n=\frac{10^n-1}{10^n}=1-\frac1{10^n}.$$

La formule proposée est bien démontrée.

(a) À partir de la formule précédente,

$$1-d_1=10^{-1}=0{,}1,\qquad 1-d_2=10^{-2}=0{,}01,$$ $$1-d_3=10^{-3}=0{,}001,\qquad 1-d_6=10^{-6}=0{,}000001.$$

Ces nombres sont exactement les écarts entre les troncatures $d_n$ et $1$.

(b) Pour avoir un écart strictement inférieur à $10^{-3}$, il faut dépasser le cas $n=3$, pour lequel l'écart vaut exactement $10^{-3}$. Le plus petit choix est donc $n=4$. De même, pour un écart strictement inférieur à $10^{-6}$, le plus petit choix est $n=7$.

(c) Pour $p\geq1$, on a

$$1-d_n=10^{-n}.$$

Si $n>p$, alors $10^{-n}<10^{-p}$. Cette condition suffit donc à obtenir l'écart demandé.

(d) Comme $10^{-n}>0$, on obtient, dès que $n>p$,

$$\boxed{0<1-d_n<10^{-p}}.$$

Ainsi, quelle que soit la précision décimale $10^{-p}$ choisie à l'avance, il suffit d'écrire suffisamment de chiffres $9$ pour que l'écart entre $d_n$ et $1$ devienne encore plus petit.

11. Pour tout $p\geq1$, dès que $n>p$, la question 10(d) donne $0<1-d_n<10^{-p}$. Toutes les troncatures suffisamment longues sont donc plus proches de $1$ que toute précision décimale fixée à l'avance. Le principe admis dans l'énoncé donne alors

$$\boxed{0{,}999\ldots=1}.$$

Il ne s'agit pas d'une approximation : les deux écritures désignent exactement le même nombre. Pour chaque nombre fini de chiffres $9$, on a bien $d_n<1$ ; l'égalité concerne l'écriture prolongée indéfiniment, ce que la notion de limite formalise.

12. Puisque $0{,}999\ldots=1$, on a

$$0{,}999\ldots\in\mathbb N,\mathbb Z,\mathbb D,\mathbb Q,\mathbb R.$$

Son plus petit ensemble est donc

$$\boxed{\mathbb N}.$$

L'écriture infinie pourrait faire croire qu'il s'agit d'un nombre juste inférieur à $1$, mais le classement porte sur la valeur du nombre, pas sur l'apparence de son écriture.