Prouver l’infinité des nombres premiers : forcer de nouveaux facteurs

On sait depuis l'Antiquité qu'il existe une infinité de nombres premiers. Pourtant, les démonstrations ne consistent pas nécessairement à savoir produire explicitement le « nombre premier suivant ». Ce problème étudie deux mécanismes permettant de forcer l'apparition de facteurs premiers qui n'avaient encore jamais été rencontrés.

On pourra utiliser sans démonstration le résultat suivant : tout entier strictement supérieur à $1$ possède au moins un diviseur premier.

I — Sortir d'une liste finie

1. Supposons, par l'absurde, qu'il n'existe qu'un nombre fini de nombres premiers, que l'on note $p_1,p_2,\ldots,p_r$. On pose

$$N=p_1p_2\cdots p_r+1.$$

Attention : $N$ n'est pas nécessairement premier.

(a) Montrer que $N>1$ et, pour tout $i\in\{1,\ldots,r\}$, déterminer le reste de la division de $N$ par $p_i$.

(b) Justifier que $N$ possède un diviseur premier $q$. Montrer que $q$ n'appartient pas à la liste $p_1,\ldots,p_r$.

(c) Conclure.

La construction précédente ne fabrique donc pas nécessairement un nombre premier : elle fabrique un entier dont au moins un facteur premier ne peut appartenir à la liste de départ. Par exemple,

$$2\times3\times5\times7\times11\times13+1=30031=59\times509.$$

Nous allons maintenant chercher à répéter ce phénomène au sein d'une même famille d'entiers.

II — Des nombres qui ne partagent pas leurs facteurs premiers

Pour tout entier $n\geq0$, on définit le $n$-ième nombre de Fermat par

$$F_n=2^{2^n}+1.$$

2. Calculer $F_0,F_1,F_2,F_3,F_4$. Pour $n\geq1$, on pose

$$P_n=F_0F_1\cdots F_{n-1}.$$

Calculer $P_1,P_2,P_3,P_4$, puis conjecturer une relation générale entre $P_n$ et $F_n$.

3. Démontrer la relation conjecturée à la question précédente pour tout entier $n\geq1$.

4. Soient $m$ et $n$ deux entiers tels que $0\leq m<n$.

(a) À l'aide de la question précédente, montrer que $F_m\mid F_n-2$.

(b) En déduire que $F_m$ et $F_n$ sont premiers entre eux.

La propriété précédente ne signifie absolument pas que tous les nombres de Fermat sont premiers. Le premier contre-exemple apparaît déjà pour $F_5$.

5. On remarque que

$$641=5\times2^7+1 \qquad\text{et}\qquad 641=5^4+2^4.$$

En exploitant ces deux égalités et en travaillant modulo $641$, montrer que $F_5$ n'est pas premier.

Ainsi, ce ne sont pas les nombres $F_n$ eux-mêmes qui doivent être premiers. Ce qui compte est que leurs facteurs premiers ne puissent pas se retrouver dans deux termes différents.

III — Le mécanisme général

6. Soit $n\in\mathbb N$, et soient $a_0,a_1,\ldots,a_n$ des entiers strictement supérieurs à $1$, deux à deux premiers entre eux. Démontrer que le produit

$$a_0a_1\cdots a_n$$

possède au moins $n+1$ diviseurs premiers distincts.

7. On considère maintenant une suite infinie d'entiers $(a_n)_{n\geq0}$ tels que $a_n>1$ pour tout $n$, et dont les termes sont deux à deux premiers entre eux. Démontrer qu'il existe nécessairement une infinité de nombres premiers. Appliquer ce résultat à la suite des nombres de Fermat.

Bilan

La preuve d'Euclide et la construction fondée sur les nombres de Fermat ne cherchent pas à énumérer les nombres premiers. Dans la première, un entier auxiliaire force l'apparition d'un facteur premier absent d'une liste finie donnée. Dans la seconde, une famille entière d'entiers est construite de façon que deux termes distincts ne puissent partager aucun facteur premier. Dans les deux cas, c'est une contrainte de divisibilité qui oblige sans cesse de nouveaux nombres premiers à apparaître.