Fonction exponentielle en Première : comprendre croissance et décroissance

Une définition liée à la dérivée

La fonction exponentielle est notée $\exp$ ou $x\mapsto e^x$. En Première, elle est caractérisée comme l’unique fonction dérivable sur $\mathbb R$ vérifiant

$f'=f\quad\text{et}\quad f(0)=1,$

l’existence et l’unicité étant admises dans le programme. Sa dérivée est donc elle-même : le taux de variation local est directement lié à la valeur de la fonction.

La propriété qui simplifie les calculs

L’exponentielle transforme une somme en produit :

$e^{x+y}=e^xe^y.$

On en déduit notamment $e^{-x}=1/e^x$. Ces identités permettent de transformer des expressions et de comparer des modèles. Il faut cependant conserver les parenthèses : $e^{x+y}$ n’est pas égal à $e^x+e^y$.

La fonction exponentielle est strictement positive et croissante. Sa courbe passe par $(0,1)$.

Modéliser une croissance ou une décroissance

Les fonctions $t\mapsto e^{kt}$ avec $k>0$ décrivent des croissances exponentielles, tandis que $t\mapsto e^{-kt}$ décrit des décroissances. Elles interviennent dans des modèles de capitalisation continue, décroissance radioactive, dilution ou autres phénomènes où la vitesse d’évolution est proportionnelle à la quantité présente.

Si $f(t)=e^{at}$, alors $f'(t)=ae^{at}$. Le signe de $a$ donne immédiatement le sens de variation.

Le lien avec les suites géométriques

Une suite géométrique décrit une évolution multiplicative à des instants discrets ; l’exponentielle décrit l’analogue continu. Si une quantité est multipliée par un même facteur à chaque unité de temps, les valeurs relevées aux instants entiers peuvent former une suite géométrique.

Comprendre ce pont permet de choisir le bon modèle : une suite si seules les étapes comptent, une fonction exponentielle si l’évolution est décrite à tout instant.

Ce qu’il faut savoir faire

Au-delà des formules, il faut savoir transformer une expression exponentielle, dériver $t\mapsto e^{at}$, interpréter une croissance ou une décroissance et construire un modèle simple. En Terminale, l’exponentielle sera réutilisée dans les limites, le logarithme et les équations différentielles.