Dérivation en Première spécialité : tangente, dérivée et variations

Du taux de variation au nombre dérivé

Entre deux points d’abscisses $a$ et $a+h$, le taux de variation de $f$ vaut

$\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.$

Géométriquement, c’est la pente d’une sécante à la courbe. Lorsque $h$ devient très petit, cette pente approche celle de la tangente au point d’abscisse $a$. Le nombre obtenu est le nombre dérivé $f'(a)$.

En Première, cette idée est travaillée à la fois par le calcul, le graphique et des interprétations concrètes : vitesse instantanée, coût marginal ou pente locale selon le contexte.

Faire approcher la sécante de la tangente

Faites varier h. Le point A est fixe ; le point B se déplace sur la parabole. La sécante passe par A et B tant que ces points sont distincts.

Courbe y = x²Tangente en ASécante AB

Écart horizontal h

0,8

Pour h = 0,8, la pente de la sécante vaut 2 + h = 2,8, car [((1 + h)² − 1) / h] = 2 + h.

Justification pour $f(x)=x^2$ au point $a=1$. Pour $h\neq 0$, on obtient

$\frac{(1+h)^2-1}{h}=2+h.$

Ce quotient tend vers $2$ lorsque $h$ tend vers $0$, ce qui prouve que $f'(1)=2$. À $h=0$, le quotient lui-même n'est pas défini : c'est sa limite qui donne le nombre dérivé.

Tangente et approximation linéaire

La tangente à la courbe de $f$ au point d’abscisse $a$ a pour équation

$y=f(a)+f'(a)(x-a).$

Près de $a$, la courbe et sa tangente sont proches. On peut donc utiliser

$f(a+h)\approx f(a)+f'(a)h$

pour obtenir une approximation simple. Cette formule donne du sens à la dérivée : localement, une fonction dérivable se comporte presque comme une fonction affine.

Calculer une fonction dérivée

Le programme demande de connaître les dérivées de fonctions de référence et d’utiliser les règles pour les sommes, produits, inverses et quotients dans des cas adaptés. Le calcul doit rester lié à la structure de l’expression : il faut reconnaître la règle pertinente avant de l’appliquer.

Par exemple, si $f(x)=x^3-4x$, alors $f'(x)=3x^2-4$. Le signe de cette nouvelle fonction va ensuite renseigner sur les variations de $f$.

De la dérivée aux variations

Sur un intervalle, une dérivée positive correspond à une fonction croissante et une dérivée négative à une fonction décroissante. Étudier le signe de $f'$ permet donc de construire un tableau de variations, de repérer des extrémums et de résoudre des problèmes d’optimisation.

Il faut éviter le raccourci « $f'(a)=0$, donc il y a forcément un maximum ou un minimum ». Une dérivée nulle donne un candidat ; c’est le changement de signe ou l’étude des variations qui permet de conclure.

Ce qui sera approfondi en Terminale

La Première installe la dérivation locale, les fonctions dérivées usuelles et leur lien avec les variations. La Terminale ajoute notamment la dérivée des fonctions composées, la dérivée seconde et la convexité. Bien maîtriser tangente, règles de calcul et tableaux de signes est donc la base avant ces prolongements.