Première spécialité · Suites
Une suite décrit une évolution par étapes. En Première, il faut savoir la générer, calculer ses termes et maîtriser les modèles arithmétiques et géométriques.
Niveau : Première spécialité maths
Une suite associe un nombre à chaque entier d’un ensemble d’indices. Elle est adaptée aux phénomènes qui évoluent étape par étape : capital à la fin de chaque année, population à chaque génération, quantité après chaque dose ou nombre d’objets à l’étape .
Une suite peut être donnée explicitement, par exemple , ou par récurrence, par exemple avec une valeur initiale. Dans le second cas, chaque terme dépend du précédent.
Une suite arithmétique vérifie . Elle modélise des accroissements constants et son terme général est affine en .
Une suite géométrique vérifie . Elle modélise des évolutions à taux constant et conduit à lorsque l’indice commence à .
La distinction est essentielle : « ajouter 5 chaque année » produit un modèle arithmétique, alors que « augmenter de 5 % chaque année » produit un modèle géométrique.
Le programme demande aussi de savoir calculer des sommes de termes consécutifs. Pour une suite géométrique, la formule de somme permet de traiter une accumulation de contributions successives ; pour une suite arithmétique, la structure régulière permet également une formule fermée.
Avant d’appliquer une formule, il faut identifier le premier terme réellement additionné, le dernier et le nombre de termes. Beaucoup d’erreurs viennent d’un décalage d’indice plutôt que d’un calcul difficile.
Pour savoir si une suite augmente ou diminue, on peut étudier le signe de ou, dans certains cas positifs, comparer le quotient à .
Le choix dépend de la forme de la suite. Il n’existe pas une méthode universelle : une relation de récurrence peut rendre la différence naturelle, alors qu’une expression exponentielle se prête mieux à un quotient.
La Première introduit intuitivement l’idée qu’une suite peut se rapprocher d’un nombre, croître sans borne ou ne pas avoir de limite. La définition et les principaux théorèmes de convergence sont approfondis en Terminale.
À ce stade, savoir calculer, représenter, modéliser et conjecturer un comportement est donc plus important que d’utiliser prématurément un arsenal théorique de limites.
Pour mettre la notion en pratique
Des problèmes où cette notion intervient dans un raisonnement plus long, parfois à un niveau ultérieur.
Agrégation interne · ≈ 4 h 30
Un problème progressif de préparation à l’agrégation interne : à partir d’un système de suites accessible, on fait émerger une relation polynomiale sur une matrice, puis les polynômes d’endomorphismes, Cayley-Hamilton, la réduction de puissances et le lien général avec les suites récurrentes linéaires. La dernière partie précise le rôle du polynôme minimal et la dimension de K[u].
Agrégation interne · ≈ 4 h 30
Un problème progressif de préparation à l’agrégation interne : à partir de la géométrie des tangentes pour x² − 2, on construit la méthode de Newton, on établit des critères de convergence et des estimations d’erreur, puis on analyse par des contre-exemples la portée exacte des résultats obtenus.
Agrégation interne · ≈ 4 h
Une même famille de fonctions permet de comparer convergence point par point et contrôle uniforme, puis d’étudier ce que l’uniformité autorise pour la continuité, l’intégration et la dérivation. Le problème mène enfin au critère de Cauchy uniforme et à la convergence uniforme sur tout compact.
MP · ≈ 3 h 30
Ce DM de MP/MPI étudie l'opérateur de différence finie ΔP(X)=P(X+1)-P(X) sur les polynômes. On détermine ses noyaux et ses images, on construit la base binomiale dans laquelle Δ agit par décalage, puis on obtient la formule de Newton, des formules de sommes et une caractérisation des suites polynomiales.
MPSI · ≈ 3 h 30
Construire trois procédures pour approcher π et quantifier leur erreur : polygones emboîtés, intégrale transformée en sommes rapidement convergentes, puis estimation de Monte-Carlo avec un risque contrôlé par Bienaymé-Tchebychev.
PCSI · ≈ 2 h 30
Sur les huit sommets d’un cube, un marcheur choisit à chaque étape l’une des trois arêtes issues de sa position. Les symétries permettent de réduire le problème à quatre niveaux, puis d’établir une récurrence de position, de déterminer la loi de la première arrivée au sommet opposé et de calculer exactement le temps moyen nécessaire pour l’atteindre.
Programme et sources
Cette explication est reliée au programme correspondant pour distinguer ce qui est attendu ici de ce qui sera étudié plus tard.
Programme officiel de Première spécialité mathématiquesBulletin officiel n°14 du 2 avril 2026 · NOR MENE2602917A
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