Suites en Première spécialité : modèles, récurrence et suites usuelles

Une suite décrit une évolution discrète

Une suite $(u_n)$ associe un nombre à chaque entier $n$ d’un ensemble d’indices. Elle est adaptée aux phénomènes qui évoluent étape par étape : capital à la fin de chaque année, population à chaque génération, quantité après chaque dose ou nombre d’objets à l’étape $n$.

Une suite peut être donnée explicitement, par exemple $u_n=3n+2$, ou par récurrence, par exemple $u_{n+1}=0{,}8u_n+5$ avec une valeur initiale. Dans le second cas, chaque terme dépend du précédent.

Suites arithmétiques et géométriques

Une suite arithmétique vérifie $u_{n+1}=u_n+r$. Elle modélise des accroissements constants et son terme général est affine en $n$.

Une suite géométrique vérifie $u_{n+1}=qu_n$. Elle modélise des évolutions à taux constant et conduit à $u_n=u_0q^n$ lorsque l’indice commence à $0$.

La distinction est essentielle : « ajouter 5 chaque année » produit un modèle arithmétique, alors que « augmenter de 5 % chaque année » produit un modèle géométrique.

Sommes de termes et choix de formule

Le programme demande aussi de savoir calculer des sommes de termes consécutifs. Pour une suite géométrique, la formule de somme permet de traiter une accumulation de contributions successives ; pour une suite arithmétique, la structure régulière permet également une formule fermée.

Avant d’appliquer une formule, il faut identifier le premier terme réellement additionné, le dernier et le nombre de termes. Beaucoup d’erreurs viennent d’un décalage d’indice plutôt que d’un calcul difficile.

Étudier les variations d’une suite

Pour savoir si une suite augmente ou diminue, on peut étudier le signe de $u_{n+1}-u_n$ ou, dans certains cas positifs, comparer le quotient $u_{n+1}/u_n$ à $1$.

Le choix dépend de la forme de la suite. Il n’existe pas une méthode universelle : une relation de récurrence peut rendre la différence naturelle, alors qu’une expression exponentielle se prête mieux à un quotient.

Et la limite ?

La Première introduit intuitivement l’idée qu’une suite peut se rapprocher d’un nombre, croître sans borne ou ne pas avoir de limite. La définition et les principaux théorèmes de convergence sont approfondis en Terminale.

À ce stade, savoir calculer, représenter, modéliser et conjecturer un comportement est donc plus important que d’utiliser prématurément un arsenal théorique de limites.