Formule de König-Huygens en Première : calculer une variance

La formule à connaître

Pour une variable aléatoire réelle $X$ définie sur un univers fini, la formule de König-Huygens s’écrit

$$\operatorname{Var}(X)=E(X^2)-E(X)^2.$$

Le dernier terme signifie bien le carré de l’espérance. C’est une source fréquente d’erreur : $E(X)^2$ et $E(X^2)$ sont deux nombres différents en général.

Cette formule fait partie des contenus du programme 2026 de Première spécialité mathématiques. Elle permet souvent de calculer la variance plus rapidement que la définition fondée directement sur les écarts à l’espérance.

Pourquoi cette identité est-elle vraie ?

La variance peut être définie par

$$\operatorname{Var}(X)=E\big((X-E(X))^2\big).$$

Notons $m=E(X)$. En développant le carré,

$$(X-m)^2=X^2-2mX+m^2.$$

Par linéarité de l’espérance,

$$E((X-m)^2)=E(X^2)-2mE(X)+m^2.$$

Comme $m=E(X)$, les deux derniers termes donnent $-2m^2+m^2=-m^2$. On obtient donc

$$\operatorname{Var}(X)=E(X^2)-E(X)^2.$$

L’identité n’est ainsi qu’une réécriture de la définition de la variance à l’aide du développement d’un carré.

Exemple complet

Supposons que $X$ prenne les valeurs $0$, $1$ et $2$ avec les probabilités

$$\frac14,\qquad \frac12,\qquad \frac14.$$

On calcule d’abord l’espérance :

$$E(X)=0\times\frac14+1\times\frac12+2\times\frac14=1.$$

Puis on calcule l’espérance du carré :

$$E(X^2)=0^2\times\frac14+1^2\times\frac12+2^2\times\frac14 =\frac32.$$

La formule de König-Huygens donne alors

$$\operatorname{Var}(X)=\frac32-1^2=\frac12.$$

L’écart type vaut donc

$$\sigma(X)=\sqrt{\frac12}.$$

Pourquoi calculer $E(X^2)$ séparément ?

Pour obtenir $E(X^2)$, il faut d’abord mettre au carré les valeurs de $X$, puis effectuer la moyenne pondérée avec les mêmes probabilités.

Si $X$ prend les valeurs $x_i$ avec les probabilités $p_i$, alors

$$E(X^2)=\sum_i x_i^2p_i.$$

À l’inverse,

$$E(X)^2=\left(\sum_i x_ip_i\right)^2.$$

Les deux expressions ne peuvent donc pas être remplacées l’une par l’autre.

Contrôles utiles et erreurs fréquentes

Une variance est toujours positive ou nulle. Si la formule de König-Huygens donne un résultat négatif, il faut vérifier les calculs : une probabilité, un carré ou l’espérance a probablement été mal calculé.

Autre erreur classique : écrire $E(X^2)-E(X^2)$ au lieu de $E(X^2)-E(X)^2$, ce qui ferait disparaître toute information.

Enfin, la variance s’exprime dans le carré de l’unité de $X$, alors que l’écart type retrouve l’unité de $X$. Dans un problème concret, cette distinction aide à interpréter correctement le résultat et à repérer certaines incohérences.