Variables aléatoires en Première spécialité : comprendre la loi et l’espérance

Qu’est-ce qu’une variable aléatoire ?

Dans le programme de Première, on travaille sur des univers finis. Une variable aléatoire réelle est une fonction qui associe un nombre réel à chaque résultat possible d’une expérience aléatoire.

L’idée devient naturelle dans un jeu. On lance par exemple un dé et on gagne ou perd une certaine somme selon le résultat. Le dé produit une issue, tandis que la variable aléatoire $X$ enregistre le gain numérique associé à cette issue.

Deux résultats différents de l’expérience peuvent donner la même valeur de $X$. C’est pourquoi il faut distinguer l’univers des issues et l’ensemble des valeurs prises par la variable.

Déterminer la loi d’une variable aléatoire

La loi de $X$ indique les valeurs possibles de la variable et la probabilité de chacune d’elles.

Supposons par exemple que $X$ puisse prendre les valeurs $-1$, $1$ et $3$ avec les probabilités respectives

$$\frac12,\qquad \frac14,\qquad \frac14.$$

La somme des probabilités doit valoir $1$. On peut alors répondre à des questions comme $P(X=1)$ ou $P(X\leq 1)$ en additionnant les probabilités des valeurs qui vérifient la condition.

Le programme demande aussi de savoir passer d’une phrase à une notation comme $\{X=a\}$ ou $\{X\leq a\}$, puis de revenir au sens concret de l’évènement.

L’espérance : une moyenne théorique

Si $X$ prend les valeurs $x_1,\ldots,x_n$ avec les probabilités $p_1,\ldots,p_n$, son espérance vaut

$$E(X)=x_1p_1+\cdots+x_np_n.$$

L’espérance est une moyenne pondérée par les probabilités. Dans un jeu répété un grand nombre de fois, elle donne le gain moyen théorique par partie dans le modèle.

Dans l’exemple précédent,

$$E(X)=(-1)\times\frac12+1\times\frac14+3\times\frac14=\frac12.$$

Une espérance positive ne garantit évidemment pas un gain à chaque partie. Elle décrit un comportement moyen du modèle, pas le résultat d’une expérience isolée.

Variance et écart type : mesurer la dispersion

Deux variables aléatoires peuvent avoir la même espérance et pourtant produire des résultats très différents. La variance mesure la dispersion des valeurs autour de l’espérance.

On peut la définir par

$$\operatorname{Var}(X)=E\big((X-E(X))^2\big).$$

L’écart type est

$$\sigma(X)=\sqrt{\operatorname{Var}(X)}.$$

Il possède la même unité que $X$, ce qui le rend souvent plus facile à interpréter concrètement que la variance.

Le programme demande de savoir calculer espérance, variance et écart type. La formule de König-Huygens fournit une autre manière très efficace de calculer la variance.

Comment éviter les confusions classiques ?

Une probabilité concerne un évènement, alors qu’une variable aléatoire prend une valeur numérique. $P(X=3)$ est donc une probabilité ; $3$ est une valeur possible de $X$.

L’espérance n’est pas nécessairement une valeur que $X$ peut réellement prendre. Un dé équilibré numéroté de 1 à 6 a par exemple une espérance de $3{,}5$, alors qu’aucune face ne porte ce nombre.

Enfin, la variance n’est pas simplement la moyenne des carrés. Il faut tenir compte du carré de l’espérance ou, de façon équivalente, des écarts à la moyenne. C’est précisément le rôle de la formule de König-Huygens.