Équations différentielles en Terminale : primitives et modèles

L’inconnue est une fonction

Dans une équation classique, on cherche un nombre. Dans une équation différentielle, on cherche une fonction qui vérifie une relation contenant sa dérivée. Par exemple,

$y'=2y$

demande toutes les fonctions dont la dérivée vaut deux fois la fonction elle-même.

Cette lecture est essentielle : une solution est une fonction, et vérifier une solution consiste à la dériver puis à remplacer dans l’équation.

Le cas $y'=f$ : chercher des primitives

Résoudre $y'=f$ revient à chercher les primitives de $f$. Deux primitives d’une même fonction continue sur un intervalle diffèrent d’une constante. Ainsi, si $F'=f$, toutes les solutions sont de la forme $y=F+C$.

Une condition initiale, par exemple $y(0)=3$, permet ensuite de déterminer la constante $C$ et de sélectionner une seule solution parmi la famille.

Les équations $y'=ay$ et $y'=ay+b$

Pour un réel $a$, les solutions de $y'=ay$ sont liées à l’exponentielle. Si $a\neq0$, une équation $y'=ay+b$ peut être traitée en trouvant d’abord une solution particulière constante puis en ramenant le reste à l’équation homogène.

Cette structure apparaît dans des modèles de croissance, décroissance, refroidissement ou évolution vers un équilibre. Le signe des paramètres doit ensuite être interprété dans le contexte.

Vérifier avant de mémoriser

Une formule de solution est facile à confondre. Le contrôle le plus sûr consiste à dériver la fonction proposée et à vérifier l’équation ainsi que la condition initiale. Quelques lignes de vérification évitent de nombreuses erreurs de signe.

Le programme peut aussi faire rencontrer d’autres équations, mais cela ne signifie pas qu’une méthode générale de résolution des équations différentielles du second ordre soit exigée à ce niveau.

Approcher une solution

La méthode d’Euler permet de construire numériquement une approximation en avançant par petits pas à partir de la pente donnée par l’équation. Elle relie ainsi le sens géométrique de la dérivée au calcul approché d’une trajectoire solution.