Logarithme népérien en Terminale : définition, calculs et équations

Le logarithme inverse l’exponentielle

La fonction logarithme népérien, notée $\ln$, est définie sur $]0,+\infty[$ comme la fonction réciproque de l’exponentielle. Ainsi,

$\ln(e^x)=x\quad\text{et}\quad e^{\ln x}=x\quad(x>0).$

Le domaine est essentiel : $\ln(x)$ n’a de sens réel que pour $x>0$. Avant toute manipulation d’une expression contenant un logarithme, il faut donc vérifier les conditions de définition.

Les propriétés algébriques

Pour $a>0$ et $b>0$,

$\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b),\qquad \ln\left(\frac ab\right)=\ln(a)-\ln(b).$

Ces propriétés transforment des produits en sommes et des puissances en coefficients. En revanche, il n’existe pas de formule analogue pour $\ln(a+b)$ : écrire $\ln(a+b)=\ln a+\ln b$ est faux.

Dérivée, variations et limites

Sur $]0,+\infty[$, la dérivée est $\ln'(x)=1/x$. Elle est positive, donc $\ln$ est strictement croissante. Le logarithme tend vers $-\infty$ lorsque $x$ tend vers $0$ par valeurs positives et vers $+\infty$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$.

La comparaison avec les puissances et l’exponentielle permet de traiter de nombreuses limites. Ces résultats ne doivent pas être utilisés comme des slogans : il faut identifier précisément la forme de l’expression étudiée.

Résoudre équations et inéquations

Parce que $\ln$ est strictement croissant, pour $a,b>0$, $\ln a=\ln b$ équivaut à $a=b$, et $\ln a<\ln b$ équivaut à $a<b$.

Par exemple, résoudre $\ln(x-1)=2$ impose d’abord $x>1$, puis donne $x-1=e^2$, donc $x=1+e^2$.

Dans une inéquation, la condition de définition fait partie de la résolution et ne doit jamais être ajoutée après coup.

Le lien à retenir avec l’exponentielle

Exponentielle et logarithme se répondent : l’une convertit une addition en multiplication, l’autre convertit un produit en somme. Les maîtriser ensemble simplifie les problèmes de croissance, les équations et l’analyse des ordres de grandeur.