Limites de suites en Terminale spécialité : méthodes et sens

Converger, diverger : de quoi parle-t-on ?

Dire que $(u_n)$ converge vers $\ell$ signifie que les termes finissent par être aussi proches que l’on veut de $\ell$. Une suite peut aussi tendre vers $+\infty$ ou $-\infty$, ou ne posséder aucune limite.

Cette distinction empêche une erreur fréquente : une suite bornée n’est pas automatiquement convergente. Une suite peut rester dans un intervalle tout en oscillant indéfiniment.

À partir de quel rang les termes restent-ils près de la limite ?

Choisissez la largeur de la bande autour de 0. Comparez une suite convergente et une suite bornée qui oscille sans converger.

uₙ = 1/nvₙ = (−1)ⁿ

Choisir ε = 1/k en faisant varier k

ε = 1/5

À partir de N = 6, chaque entier n ≥ N vérifie 0 < 1/n ≤ 1/6 < 1/5 = ε. La ligne verticale marque le premier rang qui convient pour cette valeur de ε.

Pourquoi cela prouve-t-il la convergence de $u_n=1/n$ ? Pour tout $\varepsilon>0$, on peut choisir un entier $N$ strictement supérieur à $1/\varepsilon$. Alors, pour tout entier $n\geq N$, on a

$|u_n-0|=\frac1n\leq\frac1N<\varepsilon.$

Cette propriété vaut pour tout $\varepsilon>0$, pas seulement pour les valeurs proposées dans le graphique. À l’inverse, pour $v_n=(-1)^n$, les termes pairs et les termes impairs restent respectivement égaux à $1$ et $-1$ : la suite n’a pas de limite.

Les principaux outils de comparaison

Pour déterminer une limite, on utilise les opérations sur les limites, des majorations et minorations, ou des encadrements. Le théorème des gendarmes est particulièrement utile lorsqu’une expression difficile est coincée entre deux expressions de même limite.

Les suites géométriques $q^n$ constituent des modèles de référence. Leur comportement dépend de $q$ ; il faut connaître les cas utiles plutôt que supposer qu’une puissance « devient toujours grande ».

Monotonie et bornes

Le programme utilise le résultat selon lequel une suite croissante majorée converge, et symétriquement une suite décroissante minorée converge. Cela donne une stratégie classique pour les suites définies par récurrence : montrer qu’elles restent dans un intervalle puis établir leur monotonie.

Attention : ce théorème assure l’existence d’une limite, mais ne donne pas automatiquement sa valeur. Il faut ensuite exploiter la relation définissant la suite lorsque les hypothèses permettent le passage à la limite.

Récurrence et suites définies par une fonction

Les raisonnements par récurrence servent souvent à prouver qu’une suite reste positive, bornée ou dans un intervalle stable. Pour une relation $u_{n+1}=f(u_n)$, l’étude de $f$ peut aider à comprendre le comportement des termes.

Il faut distinguer ce qui est démontré de ce qui est seulement suggéré par un graphique ou quelques valeurs numériques. Une simulation aide à conjecturer ; elle ne remplace pas une preuve de convergence.

Une méthode de travail efficace

Face à une suite, commencer par identifier sa définition et calculer quelques termes, puis rechercher une structure : géométrique, comparaison, monotonie, encadrement ou récurrence. La limite n’est que la dernière question ; la qualité du raisonnement dépend surtout du choix de l’outil qui justifie le comportement observé.