Programme de mathématiques en PC

Ce qui est ajouté en PC après la PCSI

Le même programme de mathématiques s’applique aux classes PC et PC*. La deuxième année reprend plusieurs objets de PCSI mais ajoute des théories qui n’étaient pas encore disponibles en première année : réduction des endomorphismes, théorème spectral, espaces vectoriels normés, suites et séries de fonctions, intégration sur un intervalle quelconque, variables aléatoires discrètes et calcul différentiel général à plusieurs variables.

Le programme de PC est plus resserré en algèbre que celui de MP/MPI. Cette différence se voit notamment dans les limites explicites de la partie sur la réduction.

Algèbre linéaire : réduction sans polynôme minimal

La partie d’algèbre linéaire complète d’abord les espaces vectoriels, les endomorphismes et les matrices. Elle introduit les polynômes d’endomorphismes et de matrices, les polynômes annulateurs, l’interpolation de Lagrange et le déterminant de Vandermonde. Les polynômes annulateurs sont notamment utilisés pour caractériser la diagonalisation.

La réduction traite les valeurs propres, les sous-espaces propres, le polynôme caractéristique, la diagonalisation, la trigonalisation et le théorème de Cayley-Hamilton. Le critère de trigonalisation est au programme, mais la technique générale de trigonalisation ne l’est pas ; les calculs effectifs sont limités à des exemples simples de petite dimension avec des indications.

Le texte officiel précise en revanche que les classes de similitude et le polynôme minimal sont hors programme.

Espaces euclidiens : isométries et théorème spectral

Le programme étudie les isométries vectorielles, les matrices orthogonales et leur description en dimension deux. Il introduit ensuite les endomorphismes autoadjoints et les matrices symétriques réelles.

Le théorème spectral affirme que tout endomorphisme autoadjoint d’un espace euclidien admet une base orthonormée de vecteurs propres ; sa démonstration n’est pas exigible. Les endomorphismes et matrices symétriques positifs ou définis positifs sont également au programme.

La notion générale d’adjoint est explicitement hors programme en PC : le mot « autoadjoint » est utilisé et défini dans le cadre prévu par le texte, sans développer la théorie générale de l’adjoint comme en MP/MPI.

Espaces vectoriels normés

Cette partie généralise à des espaces vectoriels réels ou complexes les notions de norme, distance, convergence de suites, limite et continuité. Elle introduit notamment les normes usuelles sur $K^n$, les boules, les parties bornées et la comparaison de normes.

En dimension finie, les normes sont équivalentes. Le programme utilise ce cadre pour les suites de matrices, les fonctions vectorielles et le calcul différentiel.

Séries de fonctions et intégrales généralisées

Après des compléments sur les séries numériques, le programme distingue convergence simple, convergence uniforme et convergence normale pour les suites ou séries de fonctions. Il étudie les conditions permettant de conserver la continuité et de justifier intégration ou dérivation terme à terme. Les séries entières font partie de cette section.

L’intégration est ensuite étendue aux intervalles quelconques : intégrales généralisées, fonctions intégrables, comparaisons, théorème de convergence dominée, intégration terme à terme et intégrales dépendant d’un paramètre.

Variables aléatoires discrètes

Le passage des variables aléatoires finies aux variables aléatoires discrètes nécessite une introduction aux ensembles dénombrables et aux familles sommables.

Le programme comprend les lois discrètes usuelles, l’espérance, la variance, l’indépendance, les fonctions génératrices, les inégalités de Markov et de Bienaymé-Tchebychev et la loi faible des grands nombres pour des variables i.i.d. de variance finie.

Calcul différentiel à plusieurs variables

Après la dérivabilité des fonctions vectorielles, le programme traite les fonctions de plusieurs variables : dérivées partielles, différentielle, règle de la chaîne et gradient.

Au second ordre apparaissent le théorème de Schwarz, la matrice hessienne et la formule de Taylor-Young à l’ordre 2. L’étude des extremums relie alors directement le calcul différentiel aux matrices symétriques positives étudiées plus tôt.

Le texte permet aussi, en liaison avec la réduction, de traiter des exemples d’équations ou de systèmes différentiels linéaires à coefficients constants ; il n’en fait pas une section autonome du programme de mathématiques de PC.

Comment lire les mentions « hors programme »

L’annexe officielle distingue les notions exigibles, les démonstrations non exigibles et les notions hors programme. Pour la PC, cette distinction est notamment importante en réduction et en géométrie euclidienne : elle évite d’importer automatiquement des outils enseignés en MP/MPI.