Programme de mathématiques en PCSI

Le programme de PCSI est organisé en deux semestres

Le texte officiel sépare explicitement les contenus du premier et du second semestre. Le premier installe rapidement les outils de calcul et d’analyse nécessaires dans les autres sciences ; le second développe l’algèbre linéaire et introduit plusieurs chapitres qui seront approfondis en PC ou en PSI.

Premier semestre : complexes, analyse, matrices et polynômes

L’année commence par le raisonnement et le vocabulaire ensembliste, les compléments de calcul algébrique et de trigonométrie, puis les nombres complexes.

L’analyse comprend les techniques fondamentales de calcul différentiel et intégral, les primitives, les équations différentielles linéaires, les suites numériques, les limites, la continuité et la dérivabilité des fonctions d’une variable réelle.

Le calcul matriciel et les systèmes linéaires sont introduits dès ce semestre. Une section distincte est consacrée aux polynômes.

Deuxième semestre : algèbre linéaire, intégration et probabilités

L’analyse asymptotique est suivie par les espaces vectoriels et les applications linéaires : dimension finie, bases, rang, sommes de sous-espaces et applications linéaires. Les matrices sont alors reliées à ces applications et les déterminants sont introduits.

Le programme poursuit avec l’intégration, le dénombrement et les probabilités sur un univers fini. Pour les variables aléatoires, il comprend notamment les lois, l’espérance, la variance et la covariance.

Les espaces préhilbertiens réels introduisent le produit scalaire, l’orthogonalité et les projections. Les séries numériques sont également étudiées, notamment la convergence absolue. Le critère de Cauchy pour les séries et la notion de semi-convergence sont explicitement hors programme.

Fonctions de deux variables : une première approche volontairement limitée

La dernière section familiarise avec les fonctions de deux variables : ouverts de $\mathbb R^2$, dérivées partielles, fonctions de classe $\mathcal C^1$, règle de la chaîne, gradient et interprétation du plan tangent.

Le texte officiel précise que cette partie a un objectif essentiellement pratique et sera reprise dans un cadre plus général en deuxième année. En PCSI, la notion générale de fonction différentiable est explicitement hors programme.

Ce qui distingue ce programme de la deuxième année

La PCSI donne les outils de base, mais plusieurs théories de PC ou de PSI n’y figurent pas encore : la réduction des endomorphismes, les espaces vectoriels normés, les suites et séries de fonctions, les intégrales généralisées ou encore le calcul différentiel général en dimension finie appartiennent à la deuxième année.

Elles ne constituent donc pas des connaissances exigibles en PCSI.

Ce que le texte officiel demande dans le travail mathématique

Comme les autres programmes de CPGE scientifiques, celui de PCSI explicite six compétences : chercher, modéliser, représenter, raisonner, calculer et communiquer. Les exercices peuvent donc demander autre chose qu’une application directe d’une formule, mais les connaissances utilisées doivent rester dans le cadre fixé par l’annexe.