Jusqu’à quelle précision peut-on approcher un réel par des fractions ?

I — Appartenir à une infinité d’ensembles

(a) Par définition,

$$x\in\limsup A_n \iff \forall N\ge1,\quad x\in\bigcup_{n\ge N}A_n.$$

Cela équivaut à

$$\forall N\ge1,\quad \exists n\ge N\text{ tel que }x\in A_n.$$

Autrement dit, les indices $n$ tels que $x\in A_n$ ne sont pas bornés. Il y en a donc une infinité. Réciproquement, si $x$ appartient à une infinité de $A_n$, alors, pour tout $N$, l’un de ces indices est supérieur ou égal à $N$, donc $x\in\bigcup_{n\ge N}A_n$. Ainsi

$$\boxed{x\in\limsup A_n\iff x\text{ appartient à une infinité de }A_n.}$$

(b) On a

$$B_N=\bigcup_{n\ge N}A_n.$$

Quand $N$ augmente, on retire éventuellement des ensembles de l’union, donc

$$B_{N+1}\subset B_N.$$

La suite $(B_N)$ est décroissante et

$$\bigcap_{N\ge1}B_N = \bigcap_{N\ge1}\bigcup_{n\ge N}A_n = \limsup A_n.$$

2. Chaque $B_N$ est mesurable comme union dénombrable d’ensembles mesurables. Par sous-additivité dénombrable,

$$\nu(B_N) =\nu\!\left(\bigcup_{n\ge N}A_n\right) \le\sum_{n\ge N}\nu(A_n).$$

L’hypothèse

$$\sum_{n=1}^{\infty}\nu(A_n)<+\infty$$

implique en particulier

$$\nu(B_1)\le\sum_{n=1}^{\infty}\nu(A_n)<+\infty.$$

La suite $(B_N)$ étant décroissante et le premier terme ayant une mesure finie, la continuité décroissante s’applique :

$$\nu\!\left(\limsup A_n\right) = \nu\!\left(\bigcap_{N\ge1}B_N\right) = \lim_{N\to\infty}\nu(B_N).$$

Or

$$0\le\nu(B_N)\le\sum_{n\ge N}\nu(A_n),$$

et le reste d’une série convergente à termes positifs tend vers $0$. Par encadrement,

$$\boxed{\nu(\limsup A_n)=0.}$$

II — Mesurer les approximations à l’échelle $q^{-\tau}$

(a) Pour $p\in\mathbb Z$, posons

$$I_{p,q}(\tau) = \left(\frac pq-q^{-\tau},\frac pq+q^{-\tau}\right).$$

Alors

$$E_q(\tau) =[0,1]\cap\bigcup_{p\in\mathbb Z}I_{p,q}(\tau).$$

Chaque $I_{p,q}(\tau)$ est ouvert, l’union est dénombrable, donc elle est borélienne. Son intersection avec $[0,1]$ est encore borélienne. Ainsi $E_q(\tau)$ est un borélien.

(b) Supposons que $I_{p,q}(\tau)$ rencontre $[0,1]$. Il existe donc $x\in[0,1]$ tel que

$$\left|x-\frac pq\right|<q^{-\tau}.$$

Comme $q\ge2$ et $\tau>0$, on a $q^{-\tau}<1$. Par conséquent

$$-1<\frac pq<2,$$

d’où, a fortiori,

$$\boxed{-q\le p\le2q.}$$

(c) Seuls les entiers $p\in\{-q,-q+1,\ldots,2q\}$ peuvent intervenir. Ils sont au nombre de $3q+1$. Chaque intervalle $I_{p,q}(\tau)$ a longueur $2q^{-\tau}$. Par sous-additivité,

$$\lambda(E_q(\tau)) \le (3q+1)\,2q^{-\tau}.$$

Comme $q\ge1$,

$$2(3q+1)\le8q,$$

donc

$$\boxed{\lambda(E_q(\tau))\le2(3q+1)q^{-\tau}\le8q^{1-\tau}.}$$

(a) La série s’écrit

$$\sum_{q=2}^{\infty}\frac1{q^{\tau-1}}.$$

C’est une série de Riemann. Elle converge exactement lorsque

$$\tau-1>1,$$

c’est-à-dire lorsque

$$\boxed{\tau>2.}$$

(b) Fixons $\tau>2$. D’après la question 3,

$$\sum_{q=2}^{\infty}\lambda(E_q(\tau)) \le8\sum_{q=2}^{\infty}q^{1-\tau}<+\infty.$$

La première partie du lemme de Borel–Cantelli, démontrée à la question 2, donne

$$\lambda\!\left(\limsup_{q\to\infty}E_q(\tau)\right)=0.$$

Or appartenir à ce limsup signifie appartenir à $E_q(\tau)$ pour une infinité de dénominateurs $q$. Pour un $q$ fixé, il n’y a qu’un nombre fini d’entiers $p$ susceptibles de vérifier l’inégalité pour un $x\in[0,1]$. Ainsi

$$\limsup_{q\to\infty}E_q(\tau)=W_\tau.$$

Par conséquent

$$\boxed{\lambda(W_\tau)=0.}$$

(c) Fixons $\tau>2$. Comme $\lambda(W_\tau)=0$, pour presque tout $x\in[0,1]$ on a $x\notin W_\tau$. Par définition de $W_\tau$, cela signifie qu’il n’existe qu’un nombre fini de couples $(p,q)\in\mathbb Z\times\mathbb N^*$ tels que

$$\left|x-\frac pq\right|<q^{-\tau}.$$

Ainsi, pour tout $\tau>2$ fixé, cette inégalité n’a qu’un nombre fini de solutions pour presque tout $x\in[0,1]$.

L’ordre des quantificateurs est important : à ce stade, l’ensemble exceptionnel peut dépendre de $\tau$. La partie IV construira un même ensemble négligeable permettant de traiter simultanément tous les exposants strictement supérieurs à $2$.

III — L’exposant $2$ apparaît pour tout irrationnel

5. Partageons $[0,1)$ en les $N$ intervalles

$$\left[\frac{k}{N},\frac{k+1}{N}\right), \qquad k=0,\ldots,N-1.$$

Les $N+1$ parties fractionnaires

$$\{0x\},\{x\},\ldots,\{Nx\}$$

sont réparties dans seulement $N$ intervalles. Par le principe des tiroirs, deux d’entre elles, disons $\{rx\}$ et $\{sx\}$ avec $0\le r<s\le N$, appartiennent au même intervalle. Elles vérifient donc

$$|\{sx\}-\{rx\}|<\frac1N.$$

Écrivons

$$sx=\lfloor sx\rfloor+\{sx\}, \qquad rx=\lfloor rx\rfloor+\{rx\}.$$

En posant

$$q=s-r \qquad\text{et}\qquad p=\lfloor sx\rfloor-\lfloor rx\rfloor,$$

on obtient $1\le q\le N$ et

$$|qx-p| =|\{sx\}-\{rx\}| <\frac1N.$$

En divisant par $q>0$,

$$\left|x-\frac pq\right| <\frac1{qN}.$$

Comme $q\le N$,

$$\frac1{qN}\le\frac1{q^2}.$$

Ainsi

$$\boxed{\left|x-\frac pq\right|<\frac1{qN}\le\frac1{q^2}.}$$

(a) Pour chaque $q\in\{1,\ldots,Q\}$, le nombre $qx$ est irrationnel, donc n’est pas entier. Sa distance à $\mathbb Z$ est atteinte par un entier le plus proche et elle est strictement positive :

$$\min_{p\in\mathbb Z}|qx-p|>0.$$

On prend ensuite le minimum d’un nombre fini de nombres strictement positifs. Il reste strictement positif :

$$\boxed{\delta_Q>0.}$$

(b) Fixons $Q\ge1$. Choisissons un entier $N$ tel que

$$N>Q \qquad\text{et}\qquad \frac1N<\delta_Q.$$

La question 5 fournit des entiers $p,q$ avec $1\le q\le N$ et

$$|qx-p|<\frac1N<\delta_Q.$$

Si l’on avait $q\le Q$, la définition de $\delta_Q$ imposerait au contraire

$$|qx-p|\ge\delta_Q,$$

ce qui est impossible. Donc $q>Q$. La question 5 donne aussi

$$\boxed{\left|x-\frac pq\right|<\frac1{q^2}.}$$

(c) La question précédente permet, pour chaque $Q$, de trouver une telle approximation avec $q>Q$. Les dénominateurs obtenus sont donc non bornés ; il y a en particulier une infinité d’approximations rationnelles distinctes vérifiant

$$\boxed{\left|x-\frac pq\right|<\frac1{q^2}.}$$

IV — Mesurer la qualité d’approximation d’un irrationnel

(a) La question 6 montre que l’exposant $2$ appartient à l’ensemble dont on prend le supremum dans la définition de $\mu(x)$. Ainsi, pour tout irrationnel $x$,

$$\boxed{\mu(x)\ge2.}$$

(b) Supposons qu’il existe une infinité de couples $(p,q)$ tels que

$$\left|x-\frac pq\right|<q^{-\tau}.$$

Si $0<s<\tau$, alors, pour tout $q\ge1$,

$$q^{-\tau}\le q^{-s}.$$

Les mêmes couples satisfont donc

$$\left|x-\frac pq\right|<q^{-s}.$$

Il y en a encore une infinité.

(a) Pour chaque $m\ge1$, on a $2+1/m>2$. La question 4 donne donc

$$\lambda(F_m)=\lambda(W_{2+1/m})=0.$$

Une union dénombrable d’ensembles négligeables est négligeable, car

$$\lambda(F) \le\sum_{m=1}^{\infty}\lambda(F_m)=0.$$

Ainsi

$$\boxed{\lambda(F)=0.}$$

(b) Soit $x\in[0,1]\setminus F$ irrationnel et supposons $\mu(x)>2$. Par définition du supremum, l’ensemble des exposants admissibles ne peut pas être contenu dans $(0,2]$ ; il existe donc un exposant $\tau>2$ pour lequel

$$\left|x-\frac pq\right|<q^{-\tau}$$

admet une infinité de solutions.

Choisissons $m$ assez grand pour que

$$2+\frac1m<\tau.$$

D’après la question 7(b), $x$ possède alors une infinité d’approximations d’exposant $2+1/m$. Ainsi

$$x\in W_{2+1/m}=F_m\subset F,$$

ce qui contredit $x\notin F$. Par conséquent

$$\boxed{\mu(x)\le2.}$$

(c) Pour tout irrationnel $x\in[0,1]\setminus F$, les questions 7(a) et 8(b) donnent

$$2\le\mu(x)\le2,$$

donc $\mu(x)=2$.

Il reste seulement à tenir compte des rationnels. L’ensemble $\mathbb Q\cap[0,1]$ est dénombrable, donc négligeable. L’ensemble exceptionnel

$$F\cup(\mathbb Q\cap[0,1])$$

est donc négligeable. Ainsi

$$\boxed{\mu(x)=2\quad\text{pour presque tout }x\in[0,1].}$$

La définition de $\mu$ n’a pas besoin d’être étendue aux rationnels pour obtenir cet énoncé presque partout.

(a) Soit $k\in\mathbb Z$. Pour tous $p\in\mathbb Z$ et $q\ge1$,

$$\left|(x+k)-\frac pq\right| = \left|x-\frac{p-kq}{q}\right|.$$

L’application $p\mapsto p-kq$ est une bijection de $\mathbb Z$ pour chaque $q$. Les exposants pour lesquels il existe une infinité d’approximations sont donc exactement les mêmes pour $x$ et $x+k$. Ainsi

$$\boxed{\mu(x+k)=\mu(x).}$$

(b) Pour $k\in\mathbb Z$, notons $N_k$ l’ensemble exceptionnel dans $[k,k+1]$. Par translation entière et par la question précédente, $N_k$ est le translaté d’un ensemble négligeable de $[0,1]$ ; il est donc négligeable. Or

$$\mathbb R=\bigcup_{k\in\mathbb Z}[k,k+1].$$

L’ensemble de tous les réels exceptionnels est contenu dans l’union dénombrable des $N_k$, donc il est négligeable. Finalement,

$$\boxed{\mu(x)=2\quad\text{pour presque tout réel }x.}$$

Ouverture facultative — Des nombres exceptionnellement bien approchés

(a) Un nombre de Liouville possède en particulier une infinité d’approximations vérifiant

$$0<\left|x-\frac pq\right|<q^{-3}.$$

Si $k=\lfloor x\rfloor$, le calcul de la question 9(a) donne $x-k\in W_3$, donc $x\in k+W_3$. L’ensemble des nombres de Liouville est ainsi contenu dans $\bigcup_{k\in\mathbb Z}(k+W_3)$, qui est négligeable par invariance par translation de la mesure de Lebesgue et stabilité par réunion dénombrable. Il est donc de mesure nulle.

(b) Posons

$$L_N=\sum_{j=1}^{N}10^{-j!}.$$

C’est un rationnel que l’on peut écrire

$$L_N=\frac{p_N}{q_N}, \qquad q_N=10^{N!},$$

sans exiger que cette écriture soit irréductible. De plus,

$$0<L-L_N=\sum_{j=N+1}^{\infty}10^{-j!}.$$

Pour $N\ge1$, les exposants $(N+1)!, (N+2)!,\ldots$ croissent au moins d’une unité à chaque terme, donc

$$L-L_N <2\,10^{-(N+1)!}.$$

Fixons un entier $n\ge1$. Pour $N$ assez grand, par exemple $N\ge n$, on a

$$2\,10^{-(N+1)!} <10^{-nN!} =q_N^{-n}.$$

Ainsi, pour tout $n$, les troncatures $L_N$ fournissent, pour une infinité de $N$, des approximations rationnelles telles que

$$0<\left|L-\frac{p_N}{q_N}\right|<q_N^{-n}.$$

Le nombre $L$ est irrationnel puisque son développement décimal comporte des chiffres $1$ à des positions arbitrairement éloignées, séparés par des blocs de zéros de longueur non bornée, donc n’est pas périodique à partir d’un certain rang. Par conséquent

$$\boxed{L\text{ est un nombre de Liouville}.}$$

(c) Écrivons $r=a/b$ avec $a\in\mathbb Z$ et $b\ge1$. Fixons $n\ge1$. Comme $x$ est de Liouville, il possède, pour des exposants arbitrairement grands, des approximations rationnelles. En particulier, on peut choisir une approximation $p/q$ telle que

$$q>b^n \qquad\text{et}\qquad 0<\left|x-\frac pq\right|<q^{-(n+1)}.$$

On peut imposer $q>b^n$ car ces dénominateurs sont non bornés : s’ils étaient tous inférieurs à un entier $Q$, il n’y aurait que finitement de valeurs de $q$ et, pour chacune, seulement un nombre fini de numérateurs $p$ possibles, contradiction.

Alors

$$\frac pq+\frac ab=\frac{bp+aq}{bq}$$

et

$$0<\left|x+r-\frac{bp+aq}{bq}\right| <q^{-(n+1)}.$$

Puisque $q>b^n$,

$$q^{-(n+1)}<b^{-n}q^{-n}=(bq)^{-n}.$$

On obtient donc des approximations d’exposant $n$ de $x+r$. En répétant l’argument avec des dénominateurs arbitrairement grands, il y en a une infinité. Ainsi $x+r$ est encore un nombre de Liouville.

Comme $L$ est de Liouville, tous les nombres

$$L+r,\qquad r\in\mathbb Q,$$

sont de Liouville. Or $L+\mathbb Q$ est dense dans $\mathbb R$ puisque $\mathbb Q$ l’est. L’ensemble des nombres de Liouville est donc dense dans $\mathbb R$ et de mesure nulle.