Devoirs maison de maths en L3

Dimension de boîte et preuve fractale de l’infinité des nombres premiers

Un DM de L3 inspiré de la preuve de Kota Saito : les étudiants construisent la dimension supérieure de boîte, démontrent son comportement sous produit, calculent la dimension de l’ensemble {1/n}, puis transforment la factorisation des entiers en contradiction géométrique pour prouver l’infinité des nombres premiers. Un prolongement facultatif généralise le calcul à {n^{-α}}.

Division par zéro, wheels et droite projective

Partir du corps des fractions d’un anneau intègre, autoriser les dénominateurs nuls sans effondrer le quotient, faire apparaître la droite projective et un point singulier, puis retrouver la localisation ordinaire et une propriété universelle de la construction des wheels.

Mesure de Lebesgue, Borel–Cantelli et exposant d’irrationalité

Un problème de L3 qui mesure la précision d’une approximation rationnelle par la comparaison entre l’erreur |x-p/q| et les puissances q^{-τ}. Après une preuve élémentaire du premier lemme de Borel–Cantelli et une estimation de mesure des voisinages rationnels, un argument de Dirichlet par principe des tiroirs conduit au seuil 2 : tout irrationnel atteint l’erreur 1/q² une infinité de fois, tandis que presque tout réel n’atteint aucun exposant strictement supérieur une infinité de fois. Le problème aboutit à μ(x)=2 presque partout et s’ouvre sur les nombres de Liouville.

Intervalles dyadiques, décalage binaire et propriétés presque partout

Un problème de L3 où les chiffres binaires d’un réel deviennent un objet mesurable. Les préfixes sont identifiés à des intervalles dyadiques, l’ambiguïté des développements dyadiques est isolée dans un ensemble négligeable, puis un comptage de blocs permet de mesurer les réels qui évitent un mot fixé. La continuité décroissante et les réunions dénombrables conduisent à une conclusion forte : pour presque tout réel de [0,1], chaque mot binaire fini apparaît une infinité de fois. Une courte ouverture distingue ce résultat de la normalité en base 2.

Ensemble de Cantor, Cantor gras et fonction de Cantor

Un problème de L3 de théorie de la mesure qui part de l'ensemble triadique de Cantor, calcule sa mesure nulle tout en établissant sa non-dénombrabilité, puis épaissit la construction jusqu'à un Cantor gras de mesure 1/2 et à des fermés d'intérieur vide de mesure prescrite. La dernière partie construit la fonction de Cantor comme limite uniforme de fonctions continues croissantes et montre, sans outil avancé d'intégration, qu'elle est non constante tout en vérifiant F'=0 presque partout.