Jusqu’à quelle précision peut-on approcher un réel par des fractions ?

Pour une fraction $p/q$ qui approche un réel $x$, l’erreur est $|x-p/q|$. Mais une petite erreur n’a de sens qu’en tenant compte du dénominateur $q$ : lorsque $q$ grandit, on peut naturellement espérer gagner en précision. Nous comparerons donc l’erreur à des puissances $q^{-\tau}$. Plus $\tau$ est grand, plus la condition $|x-p/q|<q^{-\tau}$ est exigeante. La question est alors précise : quels exposants $\tau$ peuvent être atteints une infinité de fois, et que se passe-t-il pour presque tout réel au sens de la mesure de Lebesgue ?

Dans tout le problème, $\lambda$ désigne la mesure de Lebesgue. On pourra utiliser les propriétés usuelles des mesures : monotonie, sous-additivité dénombrable et continuité croissante ou décroissante lorsqu’elle s’applique.

I — Appartenir à une infinité d’ensembles

Soit $(A_n)_{n\ge1}$ une suite de parties mesurables d’un espace mesuré $(X,\mathcal A,\nu)$. On définit

$$\limsup_{n\to\infty} A_n = \bigcap_{N\ge1}\bigcup_{n\ge N}A_n.$$

(a) Montrer que $x\in\limsup A_n$ si et seulement si $x$ appartient à une infinité d’ensembles $A_n$.

(b) En posant

$$B_N=\bigcup_{n\ge N}A_n,$$

étudier le sens de variation de la suite $(B_N)$ et identifier son intersection.

2. Supposons que

$$\sum_{n=1}^{\infty}\nu(A_n)<+\infty.$$

Montrer que

$$\nu\!\left(\limsup_{n\to\infty}A_n\right)=0.$$

On veillera à justifier précisément l’emploi de la continuité décroissante de la mesure.

IDÉECe résultat est la première partie du lemme de Borel–Cantelli. Il ne demande aucune hypothèse d’indépendance entre les ensembles.

II — Mesurer les approximations à l’échelle $q^{-\tau}$

Pour $\tau>0$ et $q\ge2$, on pose

$$E_q(\tau) = \left\{x\in[0,1]\,;\ \exists p\in\mathbb Z,\ \left|x-\frac pq\right|<q^{-\tau}\right\}.$$

(a) Montrer que $E_q(\tau)$ est un borélien de $[0,1]$.

(b) Montrer que, si l’intervalle

$$\left(\frac pq-q^{-\tau},\frac pq+q^{-\tau}\right)$$

rencontre $[0,1]$, alors $-q\le p\le2q$.

(c) En déduire que

$$\lambda(E_q(\tau)) \le 2(3q+1)q^{-\tau} \le 8q^{1-\tau}.$$

(a) Déterminer les valeurs de $\tau$ pour lesquelles la série

$$\sum_{q=2}^{\infty}q^{1-\tau}$$

converge.

(b) Pour $\tau>2$, on note

$$W_\tau = \left\{x\in[0,1]\,;\ \left|x-\frac pq\right|<q^{-\tau} \text{ pour une infinité de couples }(p,q)\in\mathbb Z\times\mathbb N^*\right\}.$$

Montrer que $\lambda(W_\tau)=0$.

(c) Déduire que, pour tout $\tau>2$ fixé, pour presque tout $x\in[0,1]$, il n’existe qu’un nombre fini de couples $(p,q)\in\mathbb Z\times\mathbb N^*$ tels que

$$\left|x-\frac pq\right|<q^{-\tau}.$$

III — L’exposant $2$ apparaît pour tout irrationnel

Pour $y\in\mathbb R$, on note $\{y\}=y-\lfloor y\rfloor$ sa partie fractionnaire.

5. Soient $x\in\mathbb R$ et $N\ge1$ un entier. En considérant les $N+1$ nombres

$$\{0x\},\{x\},\ldots,\{Nx\}$$

et une partition de $[0,1)$ en $N$ intervalles de même longueur, montrer qu’il existe des entiers $p$ et $q$ tels que

$$1\le q\le N \qquad\text{et}\qquad |qx-p|<\frac1N.$$

En déduire

$$\left|x-\frac pq\right|<\frac1{qN}\le\frac1{q^2}.$$

6. On suppose désormais $x$ irrationnel.

(a) Pour $Q\ge1$, on pose

$$\delta_Q=\min_{1\le q\le Q}\ \min_{p\in\mathbb Z}|qx-p|.$$

Montrer que $\delta_Q>0$.

(b) En choisissant convenablement $N$ dans la question 5, montrer que, pour tout $Q\ge1$, il existe une approximation $p/q$ telle que

$$q>Q \qquad\text{et}\qquad \left|x-\frac pq\right|<\frac1{q^2}.$$

(c) En déduire que tout irrationnel possède une infinité d’approximations rationnelles satisfaisant

$$\left|x-\frac pq\right|<\frac1{q^2}.$$

IV — Mesurer la qualité d’approximation d’un irrationnel

Pour un irrationnel $x$, on définit son exposant d’irrationalité par

$$\mu(x) = \sup\left\{\tau>0\,;\ \left|x-\frac pq\right|<q^{-\tau} \text{ pour une infinité de couples }(p,q)\in\mathbb Z\times\mathbb N^*\right\},$$

avec la convention qu’un supremum non borné vaut $+\infty$.

(a) Montrer que $\mu(x)\ge2$ pour tout irrationnel $x$.

(b) Si un irrationnel admet une infinité d’approximations avec un exposant $\tau$, montrer qu’il en admet aussi une infinité avec tout exposant $s$ vérifiant $0<s<\tau$.

8. Pour $m\ge1$, on pose

$$F_m=W_{2+1/m} \qquad\text{et}\qquad F=\bigcup_{m\ge1}F_m.$$

(a) Montrer que $F$ est négligeable.

(b) Soit $x\in[0,1]\setminus F$ irrationnel. Montrer que l’hypothèse $\mu(x)>2$ conduit à une contradiction.

(c) Conclure que

$$\mu(x)=2$$

pour presque tout $x\in[0,1]$.

IDÉELe passage par la suite dénombrable d’exposants $2+1/m$ est essentiel : une union non dénombrable d’ensembles négligeables n’est pas nécessairement négligeable.

(a) Montrer que, pour tout entier $k$ et tout irrationnel $x$,

$$\mu(x+k)=\mu(x).$$

(b) En déduire finalement que

$$\boxed{\mu(x)=2\quad\text{pour presque tout réel }x.}$$

Ouverture facultative — Des nombres exceptionnellement bien approchés

On appelle nombre de Liouville tout irrationnel $x$ tel que, pour tout entier $n\ge1$, l’inégalité

$$0<\left|x-\frac pq\right|<q^{-n}$$

admet une infinité de solutions $(p,q)\in\mathbb Z\times\mathbb N^*$.

(a) Montrer que l’ensemble des nombres de Liouville est de mesure nulle.

(b) On pose

$$L=\sum_{j=1}^{\infty}10^{-j!}.$$

Montrer que $L$ est un nombre de Liouville.

(c) Montrer que, si $x$ est un nombre de Liouville et $r\in\mathbb Q$, alors $x+r$ est encore un nombre de Liouville. En déduire que l’ensemble des nombres de Liouville est dense dans $\mathbb R$.