Un ensemble peut-il être grand sans contenir aucun intervalle ?

I — Un ensemble non dénombrable de mesure nulle

(a) Dans $C_0=[0,1]$, on supprime l'intervalle ouvert $]1/3,2/3[$ et l'on conserve les deux tiers fermés :

$$C_1=\left[0,\frac13\right]\cup\left[\frac23,1\right].$$

Au rang suivant, on applique exactement la même opération à chacun de ces deux intervalles. On obtient

$$C_2= \left[0,\frac19\right] \cup\left[\frac29,\frac13\right] \cup\left[\frac23,\frac79\right] \cup\left[\frac89,1\right].$$

(b) Pour $n=0$, $C_0$ est un intervalle fermé de longueur $1=3^0$. Supposons que $C_n$ soit la réunion de $2^n$ intervalles fermés disjoints, chacun de longueur $3^{-n}$. Dans chacun d'eux, le retrait du tiers central ouvert laisse deux intervalles fermés, chacun de longueur $3^{-(n+1)}$. On obtient donc $2^{n+1}$ intervalles fermés disjoints. Par récurrence,

$$\boxed{C_n\text{ est la réunion de }2^n\text{ intervalles de longueur }3^{-n}.}$$

(c) Ces intervalles sont deux à deux disjoints. Par additivité finie de la mesure,

$$\boxed{\lambda(C_n)=2^n3^{-n}=\left(\frac23\right)^n.}$$

(a) Chaque $C_n$ est une réunion finie d'intervalles fermés ; il est donc fermé, donc borélien. Une intersection quelconque de fermés est fermée. Ainsi

$$\boxed{C=\bigcap_{n\ge0}C_n\text{ est fermé, donc borélien}.}$$

(b) La suite $(C_n)$ est décroissante et $\lambda(C_0)=1<+\infty$. Par continuité de la mesure par décroissance,

$$\lambda(C) =\lim_{n\to\infty}\lambda(C_n) =\lim_{n\to\infty}\left(\frac23\right)^n =0.$$

Donc

$$\boxed{\lambda(C)=0.}$$

(c) Si $C$ contenait un intervalle $I$ de longueur strictement positive, alors $\lambda(I)>0$. Par monotonie de la mesure,

$$0<\lambda(I)\le\lambda(C)=0,$$

ce qui est impossible. Ainsi $C$ ne contient aucun intervalle de longueur strictement positive. En particulier, il ne contient aucun intervalle ouvert non vide ; d'après le rappel du sujet,

$$\boxed{\operatorname{Int}(C)=\varnothing.}$$

(a) Soit $\varepsilon=(\varepsilon_k)_{k\ge1}$ et posons $a_k=2\varepsilon_k\in\{0,2\}$. Pour $n\ge1$, définissons

$$s_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{a_k}{3^k}.$$

Le mot ternaire $a_1\ldots a_n$, dont tous les chiffres valent $0$ ou $2$, repère l'un des intervalles conservés au rang $n$ ; cet intervalle est

$$I_n=\left[s_n,s_n+3^{-n}\right]\subset C_n.$$

Si

$$x=\Phi(\varepsilon)=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{a_k}{3^k},$$

alors

$$0\le x-s_n =\sum_{k>n}\frac{a_k}{3^k} \le\sum_{k>n}\frac2{3^k} =3^{-n}.$$

Ainsi $x\in I_n\subset C_n$ pour tout $n$, donc

$$\boxed{\Phi(\varepsilon)\in C.}$$

(b) Soient $\varepsilon$ et $\eta$ deux suites distinctes, et soit $m$ le premier indice tel que $\varepsilon_m\ne\eta_m$. Supposons par exemple $\varepsilon_m=1$ et $\eta_m=0$. Alors

$$\begin{aligned} \Phi(\varepsilon)-\Phi(\eta) &=\frac2{3^m}+ \sum_{k>m}\frac{2(\varepsilon_k-\eta_k)}{3^k}\\ &\ge \frac2{3^m}-2\sum_{k>m}\frac1{3^k}\\ &=\frac2{3^m}-\frac1{3^m}\\ &=\frac1{3^m}>0. \end{aligned}$$

Les images sont donc différentes :

$$\boxed{\Phi\text{ est injective}.}$$

(c) Supposons $\{0,1\}^{\mathbb N}$ dénombrable et écrivons ses éléments sous la forme

$$\varepsilon^{(1)},\varepsilon^{(2)},\ldots, \qquad \varepsilon^{(j)}=(\varepsilon_k^{(j)})_{k\ge1}.$$

Définissons une nouvelle suite $\delta$ par

$$\delta_k=1-\varepsilon_k^{(k)}.$$

Pour chaque $k$, la suite $\delta$ diffère de $\varepsilon^{(k)}$ à l'indice $k$. Elle n'apparaît donc pas dans la liste, contradiction. Ainsi $\{0,1\}^{\mathbb N}$ n'est pas dénombrable. Comme $\Phi$ est une injection de cet ensemble dans $C$,

$$\boxed{C\text{ n'est pas dénombrable}.}$$

(d) Soit $x\in C$. Pour chaque $n$, le point $x$ appartient à un unique intervalle composant $C_n$. Comme ces intervalles sont emboîtés au fil de la construction, on peut noter $\varepsilon_n=0$ lorsque, au rang $n$, $x$ se trouve dans le morceau de gauche de l'intervalle précédent, et $\varepsilon_n=1$ lorsqu'il se trouve dans le morceau de droite. Posons encore $a_n=2\varepsilon_n$ et

$$s_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{a_k}{3^k}.$$

L'intervalle de $C_n$ qui contient $x$ est alors

$$\left[s_n,s_n+3^{-n}\right].$$

Par conséquent

$$0\le x-s_n\le3^{-n}.$$

En faisant tendre $n$ vers l'infini,

$$x=\lim_{n\to\infty}s_n =\sum_{k=1}^{\infty}\frac{a_k}{3^k} =\Phi(\varepsilon).$$

Ainsi $\Phi$ est surjective sur $C$. Avec la question (b), elle est donc bijective entre $\{0,1\}^{\mathbb N}$ et $C$.

L'écriture ternaire de $x$ utilisant seulement les chiffres $0$ et $2$ est donc unique : deux telles écritures donneraient deux suites binaires ayant la même image par $\Phi$, ce que l'injectivité exclut.

Cela ne contredit pas l'ambiguïté habituelle des développements en base $3$. Certains nombres ont bien deux écritures ternaires, par exemple

$$\frac13=0,1_3=0,02222\ldots_3,$$

mais une seule de ces deux écritures n'utilise que les chiffres $0$ et $2$. Les éventuelles secondes écritures des points frontières de $C$ font intervenir le chiffre $1$.

Éclairage. La mesure nulle de $C$ et sa non-dénombrabilité ne se contredisent pas : la mesure de Lebesgue ne compte pas les points. Elle quantifie une autre notion de taille.

II — Épaissir Cantor sans créer d'intervalle

(a) Avant l'étape $n$, il y a $2^{n-1}$ intervalles fermés. On retire au centre de chacun d'eux un intervalle ouvert de longueur $4^{-n}$. La longueur totale retirée à l'étape $n$ vaut donc

$$2^{n-1}4^{-n} =2^{n-1}2^{-2n} =\boxed{2^{-n-1}}.$$

(b) Après $n$ étapes, la longueur totale retirée est

$$\sum_{j=1}^{n}2^{-j-1} =\frac12-\frac1{2^{n+1}}.$$

Par conséquent

$$\boxed{ \lambda(K_n) =1-\left(\frac12-\frac1{2^{n+1}}\right) =\frac12+\frac1{2^{n+1}}.}$$

(c) À chaque étape, tous les intervalles présents ont même longueur et subissent le même retrait central. Ainsi $K_n$ est formé de $2^n$ intervalles fermés de même longueur $\ell_n$. Comme ils sont disjoints,

$$2^n\ell_n=\lambda(K_n).$$

Donc

$$\boxed{ \ell_n =\frac1{2^{n+1}}+\frac1{2^{2n+1}}.}$$

(d) À l'étape $n$, on veut retirer dans chaque intervalle composant $K_{n-1}$ un intervalle de longueur $4^{-n}=2^{-2n}$. D'après (c),

$$\ell_{n-1} =2^{-n}+2^{-2n+1}.$$

On a donc

$$\ell_{n-1}>2^{-2n}=4^{-n}.$$

L'intervalle ouvert centré de longueur $4^{-n}$ tient strictement à l'intérieur de chaque composante de $K_{n-1}$. La construction est donc bien définie à tout rang.

(a) Chaque $K_n$ est fermé. Leur intersection $K$ est donc fermée, et en particulier borélienne. La suite $(K_n)$ est décroissante et $\lambda(K_0)=1$. Par continuité de la mesure,

$$\lambda(K) =\lim_{n\to\infty}\lambda(K_n) =\boxed{\frac12}.$$

(b) Supposons qu'un intervalle $I$ de longueur $L>0$ soit contenu dans $K$. Alors $I\subset K_n$ pour tout $n$. Choisissons $n$ assez grand pour que $\ell_n<L$. Comme $K_n$ est réunion d'intervalles fermés disjoints séparés par des intervalles ouverts supprimés, un intervalle $I\subset K_n$ ne peut rencontrer deux composantes distinctes : il contiendrait alors aussi des points du trou situé entre elles. Il doit donc être contenu dans une seule composante de $K_n$, ce qui imposerait $L\le\ell_n$, contradiction.

Ainsi $K$ ne contient aucun intervalle de longueur strictement positive. En particulier,

$$\boxed{\operatorname{Int}(K)=\varnothing.}$$

(c) Les deux ensembles $C$ et $K$ sont fermés et d'intérieur vide. Pourtant

$$\lambda(C)=0, \qquad \lambda(K)=\frac12.$$

L'absence d'intérieur ne force donc pas la mesure à être nulle. La petitesse topologique et la petitesse au sens de la mesure sont deux notions distinctes.

(a) À l'étape $n$, on retire $2^{n-1}$ intervalles, chacun de longueur

$$d_n=\frac{1-\alpha}{2^{2n-1}}.$$

La longueur totale retirée vaut

$$2^{n-1}d_n =(1-\alpha)2^{-n}.$$

Après $n$ étapes, la longueur totale retirée est donc

$$(1-\alpha)\sum_{j=1}^{n}2^{-j} =(1-\alpha)(1-2^{-n}).$$

Ainsi

$$\boxed{ \lambda(K_n^{(\alpha)}) =\alpha+(1-\alpha)2^{-n}.}$$

(b) Les $2^n$ intervalles composant $K_n^{(\alpha)}$ ont même longueur. Par conséquent

$$\ell_n^{(\alpha)} =\frac{\lambda(K_n^{(\alpha)})}{2^n} =\boxed{\frac{\alpha}{2^n}+\frac{1-\alpha}{2^{2n}}}.$$

Au rang suivant, la longueur à retirer dans chacune de ces composantes est

$$d_{n+1}=\frac{1-\alpha}{2^{2n+1}}.$$

Or

$$\ell_n^{(\alpha)}-d_{n+1} =\frac{\alpha}{2^n}+\frac{1-\alpha}{2^{2n+1}}>0.$$

L'intervalle central à retirer est donc toujours strictement plus court que la composante dans laquelle on le place : la construction est bien définie à tout rang.

(c) Comme intersection de fermés, $K^{(\alpha)}$ est fermé. Par continuité de la mesure,

$$\lambda(K^{(\alpha)}) =\lim_{n\to\infty}\left(\alpha+(1-\alpha)2^{-n}\right) =\boxed{\alpha}.$$

De plus

$$\ell_n^{(\alpha)} =\alpha2^{-n}+(1-\alpha)2^{-2n} \longrightarrow0.$$

Si un intervalle de longueur $L>0$ était contenu dans $K^{(\alpha)}$, il serait contenu dans $K_n^{(\alpha)}$ pour tout $n$. Pour $n$ assez grand, on aurait $\ell_n^{(\alpha)}<L$, ce qui est impossible par le même argument qu'en 5(b). Ainsi

$$\boxed{\operatorname{Int}(K^{(\alpha)})=\varnothing.}$$

On a donc construit, pour tout $\alpha\in[0,1[$, un fermé d'intérieur vide de mesure exactement $\alpha$.

(d) Soit $E\subset[0,1]$ fermé et supposons $\lambda(E)=1$. Son complémentaire relatif

$$U=[0,1]\setminus E$$

est ouvert dans $[0,1]$ et vérifie $\lambda(U)=0$. S'il était non vide, il contiendrait un intervalle relatif de longueur strictement positive, donc un ensemble de mesure strictement positive, contradiction. Ainsi $U=\varnothing$, donc

$$\boxed{E=[0,1].}$$

Son intérieur dans $\mathbb R$ est $]0,1[$, donc il n'est pas vide. La valeur $\alpha=1$ ne peut donc pas fournir un fermé d'intérieur vide de même nature.

III — Une fonction qui monte sans pente presque partout

Pour $n=0$, $F_0(x)=x$ est continue, croissante, avec $F_0(0)=0$ et $F_0(1)=1$.

Supposons ces propriétés vraies pour $F_n$. Sur $[0,1/3]$, la fonction

$$x\longmapsto \frac12F_n(3x)$$

est continue et croissante ; il en va de même sur $[2/3,1]$ pour

$$x\longmapsto \frac12+\frac12F_n(3x-2).$$

Sur $[1/3,2/3]$, $F_{n+1}$ est constante égale à $1/2$. Aux points de raccord,

$$\frac12F_n(1)=\frac12, \qquad \frac12+\frac12F_n(0)=\frac12.$$

Il n'y a donc pas de discontinuité. Les valeurs sur les trois morceaux sont ordonnées, ce qui conserve la croissance. Enfin

$$F_{n+1}(0)=\frac12F_n(0)=0, \qquad F_{n+1}(1)=\frac12+\frac12F_n(1)=1.$$

Par récurrence,

$$\boxed{F_n\text{ est continue, croissante, }F_n(0)=0,\ F_n(1)=1.}$$

(a) Sur $[0,1/3]$,

$$F_1(x)=\frac32x,$$

donc $F_1(x)-F_0(x)=x/2$, dont le maximum vaut $1/6$. Sur $[1/3,2/3]$,

$$F_1(x)=\frac12,$$

et le maximum de $|1/2-x|$ vaut encore $1/6$. Le dernier tiers est symétrique. Ainsi

$$\boxed{\|F_1-F_0\|_\infty=\frac16.}$$

(b) Pour $n\ge1$, les deux fonctions $F_n$ et $F_{n-1}$ valent $1/2$ sur $[1/3,2/3]$. Sur le premier tiers,

$$|F_{n+1}(x)-F_n(x)| =\frac12|F_n(3x)-F_{n-1}(3x)|,$$

et, lorsque $x$ parcourt $[0,1/3]$, $3x$ parcourt $[0,1]$. Le même calcul vaut sur le dernier tiers. On obtient donc

$$\boxed{ \|F_{n+1}-F_n\|_\infty =\frac12\|F_n-F_{n-1}\|_\infty.}$$

(c) Par récurrence à partir de (a),

$$\|F_{n+1}-F_n\|_\infty =\frac1{6\,2^n}.$$

Pour $p>n$,

$$\|F_p-F_n\|_\infty \le\sum_{k=n}^{p-1}\|F_{k+1}-F_k\|_\infty \le\sum_{k=n}^{\infty}\frac1{6\,2^k} =\frac1{3\,2^n}.$$

Le membre de droite tend vers $0$ indépendamment de $p$ : la suite $(F_n)$ est donc uniformément de Cauchy. En particulier, pour chaque $x\in[0,1]$, la suite réelle $(F_n(x))$ est de Cauchy ; la complétude de $\mathbb R$ permet de définir

$$F(x)=\lim_{n\to\infty}F_n(x).$$

En faisant tendre $p$ vers l'infini dans l'estimation précédente, pour $n$ fixé, on obtient

$$\|F-F_n\|_\infty\le\frac1{3\,2^n}.$$

Ainsi

$$\boxed{F_n\longrightarrow F\text{ uniformément sur }[0,1].}$$

Une limite uniforme de fonctions continues est continue ; donc $F$ est continue. Pour $x\le y$, on a $F_n(x)\le F_n(y)$ pour tout $n$ ; en passant à la limite,

$$F(x)\le F(y),$$

donc $F$ est croissante. Enfin

$$F(0)=\lim_nF_n(0)=0, \qquad F(1)=\lim_nF_n(1)=1.$$

Elle n'est donc pas constante. Ainsi

$$\boxed{F\text{ est continue, croissante, non constante, }F(0)=0,\ F(1)=1.}$$

(a) Pour $n=1$, $F_1$ est constante sur l'intervalle supprimé $]1/3,2/3[$. Supposons que $F_n$ soit constante sur tous les intervalles supprimés pendant les $n$ premières étapes. La définition de $F_{n+1}$ reproduit dans le premier et le dernier tiers une copie verticale réduite de $F_n$, tandis qu'elle crée le nouveau plateau $[1/3,2/3]$. Après changement d'échelle, les anciens plateaux réapparaissent dans chacun des deux tiers conservés. Ainsi $F_{n+1}$ est constante sur tous les intervalles supprimés pendant les $n+1$ premières étapes.

De plus, une fois qu'un intervalle a été supprimé au cours de la construction de $C$, toutes les fonctions $F_m$ de rang ultérieur y gardent la même valeur constante.

(b) Si $x\notin C=\bigcap_nC_n$, il existe $N$ tel que $x\notin C_N$. Le complémentaire $[0,1]\setminus C_N$ est exactement la réunion des intervalles ouverts supprimés pendant les $N$ premières étapes. Le point $x$ appartient donc à l'un de ces intervalles, noté $J$. D'après (a), toutes les fonctions $F_m$ pour $m\ge N$ prennent sur $J$ une même valeur constante. En passant à la limite, $F$ est elle aussi constante sur $J$.

(c) Tout point de $[0,1]\setminus C$ appartient donc à un intervalle ouvert sur lequel $F$ est constante. La fonction $F$ y est dérivable et

$$F'(x)=0.$$

Or $\lambda(C)=0$. L'ensemble des points où cette démonstration n'établit pas $F'(x)=0$ est contenu dans $C$, donc dans un ensemble de mesure nulle. Par définition,

$$\boxed{F'(x)=0\quad\text{presque partout sur }[0,1].}$$

Cette conclusion n'affirme ni que $F$ est dérivable en tout point de $C$, ni que sa dérivée y vaudrait nécessairement $0$ lorsqu'elle existe. Pour conclure à une propriété presque partout, il suffit que l'ensemble des points non traités soit de mesure nulle.

Éclairage. Toute la variation globale de $F$ est compatible avec une dérivée nulle sur le complémentaire de $C$, car ce complémentaire ne contient pas les points exceptionnels où se concentre le phénomène.

(a) La convergence uniforme implique la convergence ponctuelle. Pour un $x$ fixé dans l'un des trois tiers, on peut donc faire tendre $n$ vers l'infini dans la relation définissant $F_{n+1}(x)$. On obtient

$$F(x)= \begin{cases} \dfrac12F(3x), & 0\le x\le\dfrac13,\\[2mm] \dfrac12, & \dfrac13\le x\le\dfrac23,\\[2mm] \dfrac12+\dfrac12F(3x-2), & \dfrac23\le x\le1. \end{cases}$$

(b) Posons $b_k=a_k/2\in\{0,1\}$. Si le premier chiffre ternaire de $x$ vaut $0$, la première relation donne un facteur $1/2$ et décale le développement ternaire. S'il vaut $2$, la troisième relation ajoute $1/2$, puis applique le même mécanisme à la suite des chiffres.

Après $n$ itérations, on obtient

$$F(x)=\sum_{k=1}^{n}\frac{b_k}{2^k} +\frac1{2^n}F(x_n),$$

où $x_n\in[0,1]$. Comme $F$ est croissante avec $F(0)=0$ et $F(1)=1$, on a $0\le F\le1$. Le reste est donc compris entre $0$ et $2^{-n}$ et tend vers $0$. Ainsi

$$\boxed{ F(x)=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{a_k/2}{2^k}.}$$

La fonction de Cantor remplace donc les chiffres ternaires $0,2$ par les chiffres binaires $0,1$.

(c) On a déjà $F(C)\subset[0,1]$. Réciproquement, soit $y\in[0,1]$. Choisissons un développement binaire

$$y=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{b_k}{2^k}, \qquad b_k\in\{0,1\}.$$

Posons

$$x=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{2b_k}{3^k}.$$

D'après la question 3(a), $x\in C$, et la formule de (b) donne $F(x)=y$. Donc

$$\boxed{F(C)=[0,1].}$$

Ainsi une fonction continue peut envoyer un ensemble de mesure nulle sur un intervalle entier.

(d) Les constructions séparent plusieurs notions de taille :

• $C$ n'est pas dénombrable, bien que $\lambda(C)=0$ ;
• $C$ et $K$ sont tous deux fermés d'intérieur vide, mais $\lambda(C)=0$ tandis que $\lambda(K)=1/2$ ;
• plus généralement, pour tout $\alpha\in[0,1[$, on a construit un fermé d'intérieur vide de mesure $\alpha$.

Pour la fonction, $F$ est continue et croissante, elle passe de $0$ à $1$, et pourtant sa dérivée vaut $0$ presque partout. Il n'y a pas de contradiction avec le théorème des accroissements finis : pour déduire d'une dérivée identiquement nulle qu'une fonction est constante, il faut qu'elle soit dérivable en tout point de l'intervalle ouvert considéré. Ici, on a seulement établi la dérivabilité et la nullité de la dérivée hors de $C$ ; l'ensemble exceptionnel $C$, bien que de mesure nulle, empêche d'appliquer ce raisonnement sur tout $[0,1]$.