Programme de mathématiques en MP et MPI

MP et MPI ont le même programme de mathématiques

Les arrêtés couvrant MP/MP* et MPI/MPI* sont distincts, mais leurs annexes de mathématiques portent le même intitulé « Classes préparatoires MP et MPI » et le même contenu. Les classes étoilées relèvent du même programme de mathématiques.

Ce programme va plus loin que ceux de PC et de PSI sur plusieurs points d’algèbre : il comprend notamment les idéaux, les anneaux $\mathbb Z/n\mathbb Z$ et $K[X]$, le polynôme minimal et les sous-espaces caractéristiques.

Structures algébriques et réduction

La première section complète l’étude des groupes et des anneaux : groupes monogènes et cycliques, idéaux, arithmétique dans $\mathbb Z/n\mathbb Z$, théorème chinois, indicatrice d’Euler, idéaux et irréductibles de $K[X]$, puis algèbres.

La réduction combine ensuite trois points de vue : valeurs propres et sous-espaces propres, polynômes d’endomorphismes et matrices. Le programme contient le polynôme caractéristique, le polynôme minimal, le lemme de décomposition des noyaux, les critères de diagonalisation et de trigonalisation, le théorème de Cayley-Hamilton et les sous-espaces caractéristiques.

La pratique de la trigonalisation n’est pas un objectif du programme, même si les critères de trigonalisation et les résultats qui l’utilisent sont étudiés.

Espaces euclidiens : adjoint, isométries et théorème spectral

Contrairement à PC et PSI, la notion d’adjoint d’un endomorphisme fait partie du programme de MP/MPI. Elle est utilisée avec les matrices orthogonales, les isométries vectorielles et les endomorphismes autoadjoints.

Le théorème spectral permet de diagonaliser les endomorphismes autoadjoints dans une base orthonormée. Le programme introduit également les endomorphismes autoadjoints positifs, qui seront réutilisés dans l’optimisation au second ordre. Le produit scalaire hermitien, en revanche, est explicitement hors programme.

Topologie des espaces vectoriels normés

Le programme introduit normes, distances, boules, ouverts et fermés, puis étend les notions de suite, limite et continuité au cadre des espaces vectoriels normés.

Il comprend aussi la continuité des applications linéaires, les normes subordonnées, la compacité, la connexité par arcs et plusieurs résultats propres à la dimension finie : équivalence des normes, caractérisation des compacts et continuité des applications linéaires ou polynomiales.

Séries et intégration

Les séries numériques sont prolongées aux séries à valeurs dans un espace vectoriel normé de dimension finie. Pour les suites et séries de fonctions, il faut distinguer convergence simple, uniforme et normale et connaître les hypothèses permettant de conserver continuité, intégration ou dérivation.

Les séries entières permettent notamment de construire des fonctions de variable complexe et d’aborder certaines équations différentielles.

L’intégration est étendue aux intervalles quelconques : intégrales généralisées, fonctions intégrables, comparaisons, convergence dominée, intégration terme à terme et intégrales dépendant d’un paramètre.

Probabilités discrètes et équations différentielles

Les variables aléatoires ne sont plus limitées à un ensemble fini de valeurs. Le programme introduit les ensembles dénombrables et les familles sommables, puis les lois discrètes usuelles, l’espérance, la variance, les fonctions génératrices et les inégalités de Markov et de Bienaymé-Tchebychev. La loi faible des grands nombres est au programme.

Les équations et systèmes différentiels étudiés sont linéaires. Le cas des coefficients constants permet notamment d’utiliser l’exponentielle d’endomorphisme et des techniques de réduction matricielle.

Calcul différentiel et optimisation

La dernière grande partie étend le calcul différentiel aux applications entre espaces vectoriels normés de dimension finie. Elle comprend la différentielle, les dérivées selon un vecteur, le gradient, les vecteurs tangents, la règle de la chaîne et les dérivées d’ordre supérieur nécessaires au programme.

L’optimisation est étudiée au premier et au second ordre. La matrice hessienne et les endomorphismes autoadjoints positifs permettent d’obtenir des critères sur les extremums.

Comment lire les limites du programme

L’annexe distingue les connaissances exigibles, les démonstrations dont la connaissance n’est pas exigée et les notions explicitement hors programme. Ces mentions ont un effet direct sur les exercices et les concours : une notion déclarée hors programme ne peut pas être exigée.