Classes préparatoires · Première année · MPSI et MP2I
MPSI et MP2I ont le même programme réglementaire de mathématiques. Il va des nombres complexes et des premières équations différentielles jusqu’à l’algèbre linéaire, aux séries, aux probabilités et aux fonctions de deux variables.
Programme en vigueur depuis la rentrée 2021-2022
L’annexe officielle porte simultanément les mentions MPSI et MP2I : le programme de mathématiques de première année est commun aux deux voies. Les différences entre les filières concernent les autres disciplines, pas cette liste d’exigences en mathématiques.
Le texte sépare explicitement le programme en deux semestres. Cette séparation permet de voir ce qui doit être installé tôt dans l’année et ce qui est introduit après les premiers mois de prépa.
Le premier semestre commence par le raisonnement et le vocabulaire ensembliste, les compléments de calcul algébrique et de trigonométrie, puis les nombres complexes.
L’analyse comprend ensuite les techniques fondamentales de calcul différentiel et intégral, les primitives, les équations différentielles linéaires, les suites numériques, les limites, la continuité, la dérivabilité et la convexité.
En algèbre et en arithmétique apparaissent l’arithmétique des entiers, les structures algébriques usuelles, le calcul matriciel, les systèmes linéaires, les polynômes et les fractions rationnelles. Ce sont donc dès le premier semestre plusieurs objets absents ou beaucoup moins formalisés au lycée qui doivent être manipulés avec des définitions et des preuves.
L’analyse asymptotique ouvre le second semestre. Le programme développe ensuite les espaces vectoriels, la dimension finie, les applications linéaires et les sous-espaces affines.
Le lien avec les matrices est repris de façon systématique : matrice d’une application linéaire, changements de base, équivalence et similitude. Le groupe symétrique et les déterminants complètent cette partie.
L’analyse se poursuit avec l’intégration et les séries numériques. Le programme contient aussi le dénombrement et les probabilités sur un univers fini, avec variables aléatoires, lois, espérance et variance.
Les espaces préhilbertiens réels introduisent notamment orthogonalité et projection. Les dernières sections portent sur les procédés sommatoires discrets et sur les fonctions de deux variables.
Les procédés sommatoires discrets font travailler les sommes et les suites avec des outils qui seront réutilisés dans l’étude plus poussée des séries. Les fonctions de deux variables constituent une première approche du calcul à plusieurs variables avant le calcul différentiel de deuxième année.
Pour les fonctions de deux variables, l’annexe se limite aux outils prévus à ce niveau ; la théorie générale du calcul différentiel en dimension finie appartient à la deuxième année.
Le programme fixe six compétences communes aux CPGE scientifiques : chercher, modéliser, représenter, raisonner, calculer et communiquer. Le texte précise notamment que le travail proposé doit combiner des exercices d’entraînement et des questions plus complexes pouvant nécessiter plusieurs parties du cours.
Sources officielles
Les références ci-dessous permettent de vérifier le cadre exact fixé par le Bulletin officiel.
Programme commun de mathématiques MPSI-MP2I
Bulletin officiel spécial n°1 du 11 février 2021 · NOR ESRS2035779A
Application en première année depuis la rentrée 2021-2022
Ouvrir le texte officielPour travailler le programme
Quelques problèmes actuellement disponibles dans la banque AlgèBrille pour ce niveau.
Propriété universelle du produit cartésien
Reconnaître un produit cartésien par ses projections, prouver son unicité à bijection compatible près, comprendre pourquoi l’existence seule ne suffit pas, puis construire les applications produits et la propriété miroir de l’union disjointe.
Approcher π par polygones, intégrales et probabilités
Construire trois procédures pour approcher π et quantifier leur erreur : polygones emboîtés, intégrale transformée en sommes rapidement convergentes, puis estimation de Monte-Carlo avec un risque contrôlé par Bienaymé-Tchebychev.
Pourquoi les translations font-elles apparaître les fréquences ?
À partir des rotations du polygone formé par les racines n-ièmes de l’unité, les fonctions z↦z^k apparaissent comme comportements élémentaires sous translation ; elles conduisent à la transformée de Fourier discrète, à sa formule d’inversion, à l’identité de Parseval puis à un principe d’incertitude sur les supports avec des cas d’égalité explicites.
Besoin d’un accompagnement ?
Des séances en visio, en individuel ou petit groupe, pour retravailler les points difficiles, la méthode et l’autonomie.